1.1. Determine o domínio da função

f(x)=\sqrt{5-2 x}+\ln (x+1) .
Solução. A raiz quadrada exige
5-2 x \geq 0 \quad \Longrightarrow \quad-2 x \geq-5 \quad \Longrightarrow \quad x \leq \frac{5}{2} .
O logaritmo natural exige argumento positivo:
x+1>0 \quad \Longrightarrow \quad x>-1 .
Portanto, o domínio é a interseção das duas condições:
D_{f}=\left(-1, \frac{5}{2}\right] .
O extremo -1 não entra porque \ln (0) não está definido. O extremo 5/2 entra porque \sqrt{0} está definida e \ln (7 / 2) também está definido.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o domínio da função
f(x)=\sqrt{5-2x}+\ln(x+1).
Informações dadas que são relevantes:
  • A função é soma de duas expressões: uma raiz quadrada \sqrt{5-2x} e um logaritmo natural \ln(x+1).
  • Precisa encontrar todos os valores de x para os quais ambas as expressões estão definidas simultaneamente.

Passo 2

Relembrando condições básicas que vamos usar (mini-aula rápida):
  • A raiz quadrada de índice par \sqrt{A} está definida para A\ge 0. Ou seja, o radicando tem que ser maior ou igual a zero.
  • O logaritmo natural \ln(B) está definido apenas para B>0. Ou seja, o argumento do logaritmo tem que ser estritamente positivo.
    Estas são regras fundamentais de domínio que sempre devemos aplicar.

Passo 3

Aplicando a condição da raiz quadrada à expressão \sqrt{5-2x}. Exigimos:
5-2x \ge 0.
Agora resolvemos essa desigualdade passo a passo. Subtraindo 5 dos dois lados:
-2x \ge -5.
Para isolar x, dividimos por -2. Lembre que dividir por número negativo inverte o sentido da desigualdade. Assim:
x \le \frac{5}{2}.
Portanto, a raiz quadrada exige que x esteja em (-\infty,\tfrac{5}{2}].

Passo 4

Aplicando a condição do logaritmo à expressão \ln(x+1). Exigimos:
x+1>0.
Subtraindo 1 dos dois lados:
x>-1.
Portanto, o logaritmo exige que x esteja em (-1,\infty).

Passo 5

Agora precisamos que ambas as condições sejam verdadeiras ao mesmo tempo (interseção dos conjuntos):
  • Da raiz: x\in(-\infty,\tfrac{5}{2}].
  • Do logaritmo: x\in(-1,\infty).
    A interseção desses intervalos é
(-1,\tfrac{5}{2}].

Passo 6

Explicando cuidadosamente os extremos (por que um é fechado e o outro aberto):
  • Para x=-1: o argumento do logaritmo é x+1=0. Como \ln(0) não está definido (tende a -\infty), o ponto x=-1 deve ser excluído. Por isso o extremo esquerdo é aberto.
  • Para x=\tfrac{5}{2}: o radicando fica 5-2\cdot\tfrac{5}{2}=0, logo \sqrt{0}=0 é bem definido; o logaritmo fica \ln\!\big(\tfrac{5}{2}+1\big)=\ln\!\big(\tfrac{7}{2}\big), que é bem definido. Portanto x=\tfrac{5}{2} pertence ao domínio, e o extremo direito é fechado.

Passo 7

Verificação por exemplos (mais didático, para sentir a coisa):
  • Tomando x=0: \sqrt{5-0}=\sqrt{5} e \ln(1)=0 — ambos definidos, logo 0 pertence ao domínio.
  • Tomando x=-2: \ln(-2+1)=\ln(-1) não definido — logo -2 está fora.
  • Tomando x=3: 3>\tfrac{5}{2} falha na condição da raiz — fora do domínio.
    Esses exemplos confirmam a interseção encontrada.

Resposta

\displaystyle (-1,\tfrac{5}{2}]

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