1.1. Determine o domínio da função
Solução. A raiz quadrada exige
O logaritmo natural exige argumento positivo:
Portanto, o domínio é a interseção das duas condições:
O extremo -1 não entra porque
não está definido. O extremo 5/2 entra porque
está definida e
também está definido.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o domínio da função
Informações dadas que são relevantes:
- A função é soma de duas expressões: uma raiz quadrada
e um logaritmo natural . - Precisa encontrar todos os valores de
para os quais ambas as expressões estão definidas simultaneamente.
Passo 2
Relembrando condições básicas que vamos usar (mini-aula rápida):
- A raiz quadrada de índice par
está definida para . Ou seja, o radicando tem que ser maior ou igual a zero. - O logaritmo natural
está definido apenas para . Ou seja, o argumento do logaritmo tem que ser estritamente positivo.
Estas são regras fundamentais de domínio que sempre devemos aplicar.
Passo 3
Aplicando a condição da raiz quadrada à expressão
. Exigimos:
Agora resolvemos essa desigualdade passo a passo. Subtraindo
dos dois lados:
Para isolar
, dividimos por
. Lembre que dividir por número negativo inverte o sentido da desigualdade. Assim:
Portanto, a raiz quadrada exige que
esteja em
.
Passo 4
Aplicando a condição do logaritmo à expressão
. Exigimos:
Subtraindo
dos dois lados:
Portanto, o logaritmo exige que
esteja em
.
Passo 5
Agora precisamos que ambas as condições sejam verdadeiras ao mesmo tempo (interseção dos conjuntos):
- Da raiz:
. - Do logaritmo:
.
A interseção desses intervalos é
Passo 6
Explicando cuidadosamente os extremos (por que um é fechado e o outro aberto):
- Para
: o argumento do logaritmo é . Como não está definido (tende a ), o ponto deve ser excluído. Por isso o extremo esquerdo é aberto. - Para
: o radicando fica , logo é bem definido; o logaritmo fica , que é bem definido. Portanto pertence ao domínio, e o extremo direito é fechado.
Passo 7
Verificação por exemplos (mais didático, para sentir a coisa):
- Tomando
: e — ambos definidos, logo pertence ao domínio. - Tomando
: não definido — logo está fora. - Tomando
: falha na condição da raiz — fora do domínio.
Esses exemplos confirmam a interseção encontrada.