Achar a solução do seguinte problema de valor inicial:
Passo 1
Vamos achar a solução do PVI
, com
e
. Esse é um ODE forçado por um impulso em
, então vamos usar a solução homogênea antes e depois do impulso e aplicar a condição de salto.
Passo 2
Para
, a equação é homogênea
. A característica é
, com solução geral
. Pelas condições iniciais em
:
Logo
Passo 3
Para achar o efeito do impulso em
, integramos a equação de
a
:
Como
Sabendo
, obtemos
. A continuidade de
dá
.
Passo 4
Para
, voltamos à homogênea
com condições em
:
De
Passo 5
Juntando as duas regiões, temos a solução por partes, ou usando a função de Heaviside
.