Achar a solução do seguinte problema de valor inicial:
ly^prime prime+y=de

Passo 1

Vamos achar a solução do PVI y''+y=de, com y(0)=0 e y'(0)=1. Esse é um ODE forçado por um impulso em t=2pi, então vamos usar a solução homogênea antes e depois do impulso e aplicar a condição de salto.

Passo 2

Para 0<= t<2pi, a equação é homogênea y''+y=0. A característica é r^2+1=0, com solução geral y1(t)=Acos t+Bsin t. Pelas condições iniciais em t=0:
y1(0)=A=0, y1'(0)=B=1
Logo y1(t)=sin t para t<2pi.

Passo 3

Para achar o efeito do impulso em t=2pi, integramos a equação de 2pi^- a 2pi^+:
integral2pi^-^2pi^+(y''+y),dt=integral2pi^-^2pi^+de
Como y é limitada, o termo integral y,dtto0. Isso dá
y'(2pi^+)-y'(2pi^-)=1
Sabendo y'(2pi^-)=cos(2pi)=1, obtemos y'(2pi^+)=2. A continuidade de y y(2pi)=sin(2pi)=0.

Passo 4

Para t>2pi, voltamos à homogênea y''+y=0 com condições em t=2pi:
y2(t)=Ccos t+Dsin t
De y2(2pi)=C=0 e y2'(2pi)=D=2. Assim y2(t)=2sin t para t>2pi.

Passo 5

Juntando as duas regiões, temos a solução por partes, ou usando a função de Heaviside u(t-2pi).

Resposta

y(t)= sin t,&0<= t<2pi, 2sin t,&t>=2pi

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