Por integração, justifique a seguinte propriedade da operação de convolução:
f * g=g * f

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a convolução de duas funções integrais é comutativa, ou seja, que f * g = g * f. Vamos usar a definição de convolução e uma mudança de variável para justificar essa propriedade.

Passo 2

A definição de convolução entre duas funções f e g é dada por
(f * g)(t) = integral-infty^infty f(tau),g(t - tau),dtau
Para ver a simetria, considere a mesma integral e faça a mudança de variável
u = t - tau Longrightarrow tau = t - nu, dtau = -,dnu
Quando tau vai de -infty a +infty, o nu correspondente vai de +infty a -infty. Substituindo na integral:
(f * g)(t)= integraltau=-infty^tau=+infty f(tau),g(t-tau),dtau = integralnu=+infty^nu=-infty f(t-nu),g(nu),(-dnu)
Invertendo os limites para voltar de -infty a +infty e eliminando o sinal negativo, temos
(f * g)(t)= integral-infty^infty g(nu),f(t-nu),dnu = (g * f)(t)

Passo 3

Portanto, pela mudança de variável, mostramos que (f * g)(t) = (g * f)(t) para todo t, o que prova a comutatividade da convolução.

Resposta

f * g = g * f

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