Por integração, justifique a seguinte propriedade da operação de convolução:
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que a convolução de duas funções integrais é comutativa, ou seja, que
. Vamos usar a definição de convolução e uma mudança de variável para justificar essa propriedade.
Passo 2
A definição de convolução entre duas funções
e
é dada por
Para ver a simetria, considere a mesma integral e faça a mudança de variável
Quando
vai de
a
, o
correspondente vai de
a
. Substituindo na integral:
Invertendo os limites para voltar de
a
e eliminando o sinal negativo, temos
Passo 3
Portanto, pela mudança de variável, mostramos que
para todo
, o que prova a comutatividade da convolução.