A equação do movimento de um OHS não amortecido sujeito a oscilações forçadas pode ser escrita como
Com o auxílio do Teorema da Convolução, encontre
(em termos de
).
Passo 1
O enunciado pede a solução da equação de um oscilador harmônico simples sem amortecimento sujeito a uma força externa
, usando o Teorema da Convolução. O objetivo é encontrar
em termos de
.
Passo 2
Vamos aplicar a transformada de Laplace à equação
. Sabendo que
e
, e assumindo condições iniciais nulas (para focar na resposta forçada), obtemos:
Passo 3
Isolando
no domínio de Laplace, temos:
Passo 4
Repare que
é a função de transferência do oscilador. Logo
Pelo Teorema da Convolução, a transformada inversa de um produto no domínio de Laplace é a convolução no tempo:
Passo 5
Agora calculamos
. Sabemos que
Passo 6
Portanto, a solução por convolução fica
Resposta
y(t)=\displaystyle \int_{0}^{t}\frac{1}{\omega}\sin\bigl(\omega(t-\tau)\bigr),r(\tau),d\tau = \mathcal{L}{-1}!\Bigl{\frac{R(s)}{s2+\omega^2}\Bigr}.