A equação do movimento de um OHS não amortecido sujeito a oscilações forçadas pode ser escrita como
y^prime prime(t)+omega^2 y(t)=r(t), onde omega:=raizkm e r(t)=Fext(t)m
Com o auxílio do Teorema da Convolução, encontre y(t) (em termos de R=L(r) ).

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação de um oscilador harmônico simples sem amortecimento sujeito a uma força externa r(t), usando o Teorema da Convolução. O objetivo é encontrar y(t) em termos de R(s)=Lr(t).

Passo 2

Vamos aplicar a transformada de Laplace à equação y''(t)+omega^2y(t)=r(t). Sabendo que Ly''(t)=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0) e Ly(t)=Y(s), e assumindo condições iniciais nulas (para focar na resposta forçada), obtemos:
s^2Y(s)+omega^2Y(s)=R(s)

Passo 3

Isolando Y(s) no domínio de Laplace, temos:
Y(s)=R(s)s^2+omega^2

Passo 4

Repare que H(s)=1s^2+omega^2 é a função de transferência do oscilador. Logo
Y(s)=H(s),R(s)
Pelo Teorema da Convolução, a transformada inversa de um produto no domínio de Laplace é a convolução no tempo:
y(t)=(h*r)(t)

Passo 5

Agora calculamos h(t)=L^-1H(s)=L^-11/(s^2+omega^2). Sabemos que
L^-11/(s^2+omega^2) = 1omegasin(omega t)

Passo 6

Portanto, a solução por convolução fica
y(t)=integral0^th(t-tau),r(tau),dtau = integral0^t1omegasinl(omega(t-tau)r)r(tau),dtau

Resposta

y(t)=\displaystyle \int_{0}^{t}\frac{1}{\omega}\sin\bigl(\omega(t-\tau)\bigr),r(\tau),d\tau = \mathcal{L}{-1}!\Bigl{\frac{R(s)}{s2+\omega^2}\Bigr}.

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