Achar as soluções gerais das seguintes equações diferenciais
y d xd t=e^2 xt^2+4, Resp. e^2 x-arctan t2=c

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem (separável)
dxdt=e^-2xt^2+4
O objetivo é encontrar a solução geral, que será dada implicitamente por
e^2x-arctan!l(t2r)=C
Para isso, vamos usar o método de separação de variáveis e em seguida integrar ambos os lados.

Passo 2

Separamos as variáveis colocando todos os termos em x de um lado e em t do outro. Partindo de
dxdt=e^-2xt^2+4,
multiplicamos por e^2x,dt em ambos os lados, obtendo
e^2x,dx=dtt^2+4

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
integral e^2x,dx ;=;integral dtt^2+4

Passo 4

Calculamos as integrais separadamente.
À esquerda, usando a substituição u=2x, du=2,dx:
integral e^2x,dx = 12e^2x
À direita, reconhecemos a forma padrão integral dtt^2+a^2 = 1aarctan!l(tfractar) com a=2:
integral dtt^2+4 = 12arctan!l(t2r)
Incluindo a constante de integração C, temos
12e^2x = 12arctan!l(t2r) + C

Passo 5

Multiplicando tudo por 2 e reorganizando para isolar a constante, chegamos à forma final da solução geral:
e^2x - arctan!l(tfract2r) = C

Resposta

e^2x - arctan!l(t2r) = C

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