Encontrar o intervalo de convergência das seguintes séries de potências (Verificar a convergência, ou não, nos extremos dos intervalos):
(a) .
(b)
(c) . [Resp: ]
(d) . [Resp: ]
(e)
Passo 1
O enunciado pede os intervalos de convergência de cinco séries de potências. Para cada uma vamos usar o teste da razão de Cauchy para determinar o raio de convergência e depois verificar, nos extremos, se a série converge ou diverge.
Passo 2
Para a série
aplicamos o teste da razão em :
Converge se |x-3|5<1, isto é
|x-3|<5implies -2<x<8
Agora os extremos:
Em x=-2: o termo geral vira (-5)^nn,5^n=(-1)^n/n, que converge (série alternada tipo harmônica).
Em x=8: o termo é 5^nn,5^n=1/n, que diverge.
Logo o intervalo é l[-2,8r).
Converge se |2x|<1, isto é |x|<1/2. Em x=pm1/2 temos sum1/n^2 ou sum(-1)^n/n^2, ambas convergentes (p-série com p=2). Assim o intervalo é l[-tfrac12,tfrac12r].