Encontrar o intervalo de convergência das seguintes séries de potências (Verificar a convergência, ou não, nos extremos dos intervalos):
(a) sumn=1^infty (x-3)^nn 5^n. [Resp:[-2,8)]
(b) sumn=1^infty (n+1)^5 x^2 n2 n+1 [Resp:(-1,1)]
(c) sumn=1^infty 2^n x^nn^2. [Resp: [-0.5,0.5] ]
(d) sumn=1^infty (x+2)^nln (n+1). [Resp: [-3,-1) ]
(e) sumn=1^infty (3 x-1)^n3^2 n [Resp:(-8 / 3,10 / 3)]

Passo 1

O enunciado pede os intervalos de convergência de cinco séries de potências. Para cada uma vamos usar o teste da razão de Cauchy para determinar o raio de convergência e depois verificar, nos extremos, se a série converge ou diverge.

Passo 2

Para a série
sumn=1^infty(x-3)^nn,5^n
aplicamos o teste da razão em an=(x-3)^nn,5^n:
limntoinftyl|an+1anr| =limntoinfty|x-3|^n+1(n+1)5^n+1cdotn,5^n|x-3|^n =|x-3|5
Converge se |x-3|5<1, isto é
|x-3|<5implies -2<x<8
Agora os extremos:
  • Em x=-2: o termo geral vira (-5)^nn,5^n=(-1)^n/n, que converge (série alternada tipo harmônica).
  • Em x=8: o termo é 5^nn,5^n=1/n, que diverge.
    Logo o intervalo é l[-2,8r).

Passo 3

Para
sumn=1^infty(n+1)^5x^2n2n+1
definimos an=(n+1)^5x^2n2n+1 e calculamos
limntoinftyl|an+1anr| =limntoinfty(n+2)^52n+3cdot2n+1(n+1)^5;|x|^2 =|x|^2
Converge se |x|^2<1, ou seja -1<x<1. Nos extremos x=pm1 o termo geral é sim n^4, logo diverge. Portanto o intervalo é (-1,1).

Passo 4

Para
sumn=1^infty2^nx^nn^2
note que é sum (2x)^n/n^2. Aplicando a razão:
limntoinftyl|(2x)^n+1/(n+1)^2(2x)^n/n^2r| =|2x|limntoinftyn^2(n+1)^2=|2x|
Converge se |2x|<1, isto é |x|<1/2. Em x=pm1/2 temos sum1/n^2 ou sum(-1)^n/n^2, ambas convergentes (p-série com p=2). Assim o intervalo é l[-tfrac12,tfrac12r].

Passo 5

Para
sumn=1^infty(x+2)^nln(n+1)
defina y=x+2 e an=y^n/ln(n+1). Pela razão:
limntoinftyl|an+1anr| =|y|limntoinftyln(n+1)ln(n+2)=|y|
Converge se |y|<1, ou seja -3<x<-1.
  • Em x=-3 temos y=-1, termo (-1)^n/ln(n+1), convergente por critério de Leibniz.
  • Em x=-1 temos y=1, termo 1/ln(n+1) cuja série diverge (por comparação ou integral).
    Logo o intervalo é l[-3,-1r).

Passo 6

Para
sumn=1^infty(3x-1)^n3^2n
escreva l((3x-1)/9r)^n. A convergência pede
l|3x-19r|<1implies|3x-1|<9implies -tfrac83<x<tfrac103
Nos extremos:
  • x=-tfrac83 dá termo (-1)^n, divergente.
  • x=tfrac103 dá termo 1^n, divergente.
    Portanto o intervalo é l(-tfrac83,tfrac103r).

Resposta

(a) l[-2,8r)
(b) (-1,1)
(c) l[-tfrac12,tfrac12r]
(d) l[-3,-1r)
(e) l(-tfrac83,tfrac103r)

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