Achar as soluções gerais das seguintes equações diferenciais
y arcsin x d x-raiz1-x^2 d y=0, Resp. ln y=12(arcsin c)^2+c

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y,arcsin x,dx ;-;raiz1 - x^2,dy ;=;0
e pede a solução geral. O conteúdo aqui é de equações de primeira ordem separáveis, pois podemos isolar y de um lado e x do outro.

Passo 2

Reescrevendo a equação, temos
y,arcsin x,dx = raiz1 - x^2,dy
O próximo passo é separar as variáveis, passando tudo que envolve y multiplicando dy e tudo que envolve x multiplicando dx.

Passo 3

Fazendo a separação de variáveis, dividimos ambos os lados por yraiz1 - x^2, obtendo
dyy ;=; arcsin xraiz1 - x^2,dx

Passo 4

Agora integramos cada lado:
integral dyy ;=; integral arcsin xraiz1 - x^2,dx
Do lado esquerdo surge
integral dyy = lnlvert yrvert
Para o lado direito, usamos a substituição t = arcsin x, de modo que dx = cos t,dt e raiz1 - x^2 = cos t. Então
integral arcsin xraiz1 - x^2,dx = integral tcos t,l(cos t,dtr) = integral t,dt = 12,t^2 + C1 = 12l(arcsin xr)^2 + C1

Passo 5

Igualando as integrais e juntando as constantes, obtemos
lnlvert yrvert = 12l(arcsin xr)^2 + C,
onde C é a constante geral de integração.

Resposta

lnlvert yrvert = 12l(arcsin xr)^2 + C

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