Achar as soluções gerais das seguintes equações diferenciais
sin theta d r+r cos theta d theta=0, Resp. r sin theta=c

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
sintheta,dr + rcostheta,dtheta = 0
Estamos no contexto de equações diferenciais exatas (ou separáveis) em coordenadas polares, e vamos usar o método de equação exata para encontrar uma função potencial cuja diferencial se anula.

Passo 2

Identificamos
M(r,theta) = sintheta, N(r,theta) = rcostheta
Verificamos a exatidão comparando
partial Mpartial theta = costheta, partial Npartial r = costheta
Como partial M/partialtheta = partial N/partial r, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos uma função phi(r,theta) tal que
dphi = M,dr + N,dtheta
Integramos M em relação a r:
phi(r,theta) = integral sintheta,dr = rsintheta + H(theta),
onde H(theta) é função a determinar.

Passo 4

Derivamos phi em relação a theta e igualamos a N:
partialphipartialtheta = rcostheta + H'(theta) stackrel!= N(r,theta) = rcostheta
Daí vem H'(theta)=0, logo H(theta) é constante.

Passo 5

Concluímos que
phi(r,theta) = rsintheta + const,
e a condição phi(r,theta)=const fornece a solução geral
rsintheta = C,
com C constante arbitrária.

Resposta

A solução geral é
r ,sintheta = C

Exercícios relacionados