Achar as soluções gerais das seguintes equações diferenciais
Resp.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
Estamos no contexto de equações diferenciais exatas (ou separáveis) em coordenadas polares, e vamos usar o método de equação exata para encontrar uma função potencial cuja diferencial se anula.
Passo 2
Identificamos
Verificamos a exatidão comparando
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Procuramos uma função
tal que
Integramos
em relação a
:
onde
é função a determinar.
Passo 4
Derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Daí vem
, logo
é constante.
Passo 5
Concluímos que
e a condição
fornece a solução geral
com
constante arbitrária.
Resposta
A solução geral é