Achar as soluções gerais das seguintes equações diferenciais
(x+x y) d x+(y+x y) d y=0, Resp. (x+1)(y+1)=c e^x+y

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(x + x y),dx + (y + x y),dy = 0
e pede a solução geral. O conteúdo envolvido é reconhecimento de fator integrante ou simplificação para separação de variáveis.

Passo 2

Note que o primeiro termo e o segundo termo podem ser reescritos como
x(1+y),dx + y(1+x),dy = 0
Isso sugere dividir toda a equação por (1+x)(1+y) para simplificar.

Passo 3

Dividindo ambos os lados por (1+x)(1+y) obtemos
x1+x,dx + y1+y,dy = 0,
que já está em forma separável.

Passo 4

Integramos cada parcela:
integral x1+x,dx + integral y1+y,dy = C
Como dfracx1+x=1-dfrac11+x, temos
integral x1+x,dx = integrall(1 - 11+xr),dx = x - ln(1+x),
e analogamente integral y1+y,dy = y - ln(1+y). Então
x + y - lnl((1+x)(1+y)r) = C

Passo 5

Reorganizando,
lnl((1+x)(1+y)r) = x + y - C Longrightarrow (1+x)(1+y) = e^x+y-C = C',e^x+y,
onde C'=e^-C é constante arbitrária.

Resposta

(x+1)(y+1)=C,e^x+y

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