Achar as soluções gerais das seguintes equações diferenciais
d yd x=e^x-y+x^2 e^-y, Resp. 3(e^y-e^x)=x^3+c

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
dydx=e^x-y+x^2e^-y
O conteúdo aqui é “equação separável”: reconhecemos que podemos agrupar termos em y de um lado e termos em x do outro para integrar.

Passo 2

Reescrevendo o lado direito como fator comum em e^-y, temos
dydx=(e^x+x^2)e^-y
Agora multiplicamos ambos os lados por e^y,dx para separar variáveis:
e^y,dy=(e^x+x^2),dx

Passo 3

Integramos membro a membro:
integral e^y,dy=integral(e^x+x^2),dx

Passo 4

Calculamos cada integral:
integral e^y,dy=e^y, integral e^x,dx=e^x, integral x^2,dx=x^33
Logo,
e^y=e^x+x^33+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por 3 e reorganizando, obtemos a forma usual da resposta:
3l(e^y-e^xr)=x^3+C',
em que C'=3C é uma constante arbitrária.

Resposta

3l(e^y-e^xr)=x^3+C

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