Achar as soluções gerais das seguintes equações diferenciais
2 y(x^2-x-1) d x+(x^3-x) d y=0, Resp. x^2(x+1) y=c(x-1)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
2,yl(x^2-x-1r),dx ;+;l(x^3-xr),dy ;=;0
Esse é um caso de equação não exata. Vamos usar o método do fator integrante que dependa só de x para torná-la exata.

Passo 2

Escrevemos M(x,y)=2,y(x^2 - x -1) e N(x,y)=x^3 - x.
Calculamos
partial Mpartial y = 2,(x^2-x-1), partial Npartial x = 3x^2 -1
Como partial M/partial yneq partial N/partial x, não é exata. Verificamos então se existe fator integrante mu(x) tal que
1Nl(partial Mpartial y-partial Npartial xr)
dependa só de x. De fato,
partial M/partial y - partial N/partial xN =2(x^2-x-1)-(3x^2-1)x^3-x =-(x+1)^2x(x^2-1) =-x+1x(x-1)

Passo 3

Integramos para achar mu(x):
lnmu(x)=integral l(tfrac1x-tfrac2x-1r),dx =ln|x|-2ln|x-1| Longrightarrow mu(x)=x(x-1)^2
Multiplicamos toda a equação original por mu(x), definindo
tilde M = mu,M, tilde N = mu,N,
que resulta em uma equação exata tilde M,dx+tilde N,dy=0.

Passo 4

Para a equação exata existe função potencial phi(x,y) tal que
partial phipartial x=tilde M, partial phipartial y=tilde N
Depois de integrar e ajustar termos, encontra-se
phi(x,y)=x^2(x+1)x-1;y,
logo a solução implícita é phi(x,y)=C.

Resposta

x^2(x+1),y ;=;C,(x-1)

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