Determine os pontos de continuidade de cada uma das funções abaixo.
Obs: lfloor xrfloor é chamado "piso de x" e é definido como o maior inteiro menor ou igual a x.
f(x)=l|x^2-4 x+3|x-3, se x neq 3 1, se x=3

Passo 1

O enunciado pede os pontos de continuidade da função
f(x)= dfracl|x^2-4x+3r|x-3,&xneq3,[6pt] 1,&x=3
O conteúdo aqui é analisar a continuidade de uma função definida por partes, usando a simplificação da expressão com valor absoluto e checando limites laterais em cada ponto de quebra.]

Passo 2

Para xneq3 escrevemos
x^2-4x+3=(x-1)(x-3)
então
l|x^2-4x+3r| =l|(x-1)(x-3)r| =l|x-1r|;l|x-3r|
Assim
f(x)=l|x-1r|;l|x-3r|x-3
Agora separamos os casos:
– Se x>3, então x-3>0 e l|x-3r|=x-3, logo
f(x)=l|x-1r|(x-3)x-3=l|x-1r|
– Se x<3, então x-3<0 e l|x-3r|=3-x, logo
f(x)=l|x-1r|(3-x)x-3 =l|x-1r|cdot-(x-3)x-3 =-l|x-1r|

Passo 3

Cada ramo é combinação de funções contínuas (valor absoluto e polinômios), portanto
f(x)=-l|x-1r|,&x<3, f(x)=l|x-1r|,&x>3
é contínua em todo ponto de (-infty,3) e de (3,infty).

Passo 4

Falta checar x=3. Calculamos os limites laterais:
limxto3^-f(x) =-l|3-1r| =-2, limxto3^+f(x) =l|3-1r| =2
Como os limites laterais não coincidem, limxto3f(x) não existe. Mesmo definindo f(3)=1, não há continuidade em x=3.

Resposta

A função é contínua em todos os xinR exceto em x=3.

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