\iint_{D} 2 x y d A, D é a região triangular com vértices (0,0),(1,2) e (1,0)

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
\iint_{D}2xy\,dA
onde D é o triângulo de vértices (0,0), (1,0) e (1,2). O conteúdo é cálculo de integrais duplas em coordenadas cartesianas: precisamos descrever os limites de integração da região D e depois avaliar a integral iterada.

Passo 2

Para descrever D, note que a aresta que liga (0,0) a (1,2) é dada por
y=2x.
Assim, x varia de 0 a 1 e, para cada x, y vai de 0 até 2x. Logo
D=\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;0\le y\le2x\}.

Passo 3

Escrevemos a integral iterada e calculamos a parte interna (em y):
\iint_{D}2xy\,dA =\int_{x=0}^{1}\Bigl(\int_{y=0}^{2x}2xy\,dy\Bigr)\,dx.
Dentro da integral em y:
\int_{0}^{2x}2xy\,dy =2x\int_{0}^{2x}y\,dy =2x\Bigl[\tfrac{y^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{2x} =2x\cdot\tfrac{(2x)^{2}}{2} =4x^{3}.

Passo 4

Agora integramos em x:
\int_{0}^{1}4x^{3}\,dx =4\Bigl[\tfrac{x^{4}}{4}\Bigr]_{0}^{1} =4\cdot\tfrac{1}{4} =1.

Resposta

1

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