Achar o tempo necessário para esvaziar um tanque cilíndrico de raio 8 m e altura 10 m , cheio de água, sabendo que a água se escoa através de um orifício, situado na base do tanque, de raio 1 dm , com uma velocidade v=4 raizh m / s aproximadamente, sendo h a altura da água no tanque.

Passo 1

O enunciado pede o tempo T para esvaziar um tanque cilíndrico de raio 8, m e altura inicial 10, m, sabendo que a água escoa por um orifício de raio 1,dm=0,1, m com velocidade aproximadamente dada por v=4raizh em m/ s, onde h(t) é a altura da água no instante t. O conteúdo envolve modelar o escoamento por uma equação diferencial de primeira ordem e resolvê-la por separação de variáveis.

Passo 2

Em cada instante, o volume de água no tanque é
V(t)=pi R^2h(t),
com R=8, m. A vazão de saída Q (volume por tempo) é a área do orifício vezes a velocidade:
Q = Aorifíciocdot v =pi r^2,4raizh com r=0,1, m í

Passo 3

Como o volume decresce, temos
dVdt=-Q
Substituindo V=pi R^2h e Q:
pi R^2,dhdt =-pi r^2,4raizh
Cancelando pi e colocando dh/dt:
dhdt =-4,r^2R^2raizh

Passo 4

Separamos variáveis:
dhraizh =-4,r^2R^2,dt
Integramos de h=10 a h=0 no lado esquerdo e de t=0 a t=T no lado direito:
integral10^0!h^-1/2,dh =-4,r^2R^2 integral0^T!dt

Passo 5

Calculando as integrais:
integral10^0!h^-1/2,dh =2l[raizhr]10^0 =-2raiz10, integral0^T!dt=T
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-2raiz10 =-4,r^2R^2,T Longrightarrow T =2raiz104,R^2r^2 =R^2raiz102,r^2
Substituindo R=8 e r=0,1:
T =8^2raiz102,(0,1)^2 =64raiz102cdot0,01 =3200raiz10 s

Resposta

T = 3200raiz10 sapprox 1,01times10^4 s (approx 2,8 h)

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