Achar o tempo necessário para esvaziar um tanque cilíndrico de raio 8 m e altura 10 m , cheio de água, sabendo que a água se escoa através de um orifício, situado na base do tanque, de raio 1 dm , com uma velocidade
aproximadamente, sendo
a altura da água no tanque.
Passo 1
O enunciado pede o tempo
para esvaziar um tanque cilíndrico de raio
e altura inicial
, sabendo que a água escoa por um orifício de raio
com velocidade aproximadamente dada por
em
, onde
é a altura da água no instante
. O conteúdo envolve modelar o escoamento por uma equação diferencial de primeira ordem e resolvê-la por separação de variáveis.
Passo 2
Em cada instante, o volume de água no tanque é
com
. A vazão de saída
(volume por tempo) é a área do orifício vezes a velocidade:
Passo 3
Como o volume decresce, temos
Substituindo
e
:
Cancelando
e colocando
:
Passo 4
Separamos variáveis:
Integramos de
a
no lado esquerdo e de
a
no lado direito:
Passo 5
Calculando as integrais:
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Substituindo
e
: