Determine uma solução em série de potências para os seguintes problemas de valor inicial
y^prime prime+t^2 y^prime+t y=0 ; y(0)=0, y^prime(0)=1

Passo 1

O enunciado pede uma solução em série de potências para a EDO
y'' + t^2y' + t,y = 0
com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=1.
O conteúdo é método de série de potências centrado em t=0. Vamos supor
y(t)=sumn=0^inftyan,t^n
e determinar os coeficientes an.

Passo 2

Diferenciando termo a termo, temos
y'(t)=sumn=0^infty(n+1)an+1,t^n
y''(t)=sumn=0^infty(n+2)(n+1)an+2,t^n

Passo 3

Também
t^2y'(t)=sumn=2^infty(n-1)an-1,t^n, t,y(t)=sumn=1^inftyan-1,t^n
Substituindo em y''+t^2y'+t,y=0 e agrupando coeficientes de t^n, obtemos:
para n=0
2cdot1,a2=0,
para n=1
3cdot2,a3 + a0=0,
para n>=2
(n+2)(n+1)an+2 + (n-1)an-1 + an-1 = 0 ;Longrightarrow; (n+2)(n+1)an+2 + n,an-1=0

Passo 4

Das condições iniciais: y(0)=a0=0 e y'(0)=a1=1.
Logo a2=0 e da equação em n=1 vem 6a3 + a0=0implies a3=0.
A recorrência geral para n>=2 é
an+2 = -n(n+2)(n+1),an-1

Passo 5

Calculando os primeiros coeficientes não nulos:
a4 = -24cdot3,a1 = -16, a5 = -35cdot4,a2 = 0, a6 = -46cdot5,a3 = 0,
a7 = -57cdot6,a4 = 5252, a10 = -810cdot9,a7 = -1567, ;dots

Passo 6

Observamos que somente a3m+1 são não nulos. Assim a solução em série fica
y(t) ;=;summ=0^inftya3m+1,t^3m+1 ;=;t - 16t^4 + 5252t^7 - 1567t^10 + cdots

Resposta

y(t) = t - tfrac16t^4 + tfrac5252t^7 - tfrac1567t^10 + cdots

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