Calcule fx x, fx y=fy x e fy y para as seguintes funções.
x^2+3 x y+2 y^2.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de segunda ordem da função
f(x,y)=x^2+3xy+2y^2
O conteúdo é cálculo de derivadas parciais: primeiro achamos partial fpartial x e partial fpartial y, depois derivamos cada uma em x e y para obter as segundas ordens.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem.
A derivada parcial de f em relação a x é
partial fpartial x = partialpartial xl(x^2r) + partialpartial xl(3xyr) + partialpartial xl(2y^2r) = 2x + 3y + 0 = 2x + 3y
A derivada parcial de f em relação a y é
partial fpartial y = partialpartial yl(x^2r) + partialpartial yl(3xyr) + partialpartial yl(2y^2r) = 0 + 3x + 4y = 3x + 4y

Passo 3

Agora derivamos partial fpartial x=2x+3y em relação a x para obter
fxx = partialpartial xl(2x+3yr) = 2

Passo 4

Em seguida derivamos partial fpartial x=2x+3y em relação a y para achar
fxy = partialpartial yl(2x+3yr) = 3
Para verificar a igualdade fxy=fyx, derivamos partial fpartial y=3x+4y em relação a x:
fyx = partialpartial xl(3x+4yr) = 3

Passo 5

Por fim derivamos partial fpartial y=3x+4y em relação a y para obter
fyy = partialpartial yl(3x+4yr) = 4

Resposta

fxx=2, \quad fxy=fyx=3, \quad fyy=4.

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