Um corpo de massa m, em um meio em que a resistência (kgf) é proporcional ao quadrado da velocidade (m/s ), cai, partindo do repouso. Sabendo que a velocidade máxima limite é de 50 m / seg, achar:
a) a velocidade no fim de 2 s,
b) o tempo necessário para que a velocidade atinja 30 m / seg. (Tomar g=10 m / s^2 ^2 ).

Passo 1

O enunciado descreve a queda de um corpo de massa m em que a resistência do ar é proporcional ao quadrado da velocidade. Chamando de k a constante de proporcionalidade, a equação do movimento é
dvdt=g-km,v^2
Sabemos que a velocidade limite (terminal) é V=50 m/s. Vamos usar esse valor para reescrever o ODE e, em seguida, obter v(t). Depois calculamos (a) v(2) e (b) o instante em que v=30.

Passo 2

Como em regime permanente temos 0=g-(k/m)V^2, segue
km=gV^2
Logo o ODE vira
dvdt=ggl(1-v^2V^2gr)
Separamos variáveis:
integral0^vdw1-(w/V)^2 =integral0^tg,dt Longrightarrow integral0^v/Vdu1-u^2 = gV,t
Mas
integral0^xdu1-u^2 =arctanh(x),
logo
arctanhl(vVr) =g,tV Longrightarrow v(t)=V,tanh!l(g,tVr)

Passo 3

Para t=2 s:
v(2)=50,tanh!l(10cdot250r) =50,tanh(0.4)approx50cdot0.3799approx19.0 m/s

Passo 4

Queremos t tal que v=30. Escrevendo v/V=30/50=0.6:
arctanh(0.6)=g,tV Longrightarrow t=Vg,arctanh(0.6)
Sabemos
arctanh(0.6)=12ln1+0.61-0.6 =tfrac12ln4approx0.6931,
então
t= 5010times0.6931approx3.47 s

Resposta

a) v(2)approx19,0 m/s
b) tapprox3,47 s

Exercícios relacionados