Achar todos os autovalores da matriz A e seus respectivos autoespaços, em que: A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 3 & 1 / 2 \\\\ 0 & -2 & \sqrt{2} \\\\ 0 & 0 & -1\end{array}\right).
Passo 1
O enunciado pede: encontrar todos os autovalores de A e, para cada autovalor, determinar o autoespaço correspondente (isto é, o espaço dos autovetores não-nulos associados a esse autovalor). A matriz dada é
A matriz é triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero).]
Passo 2
Como vamos proceder (explicando a ideia antes de calcular): um autovalor \lambda e um autovetor não-nulo v satisfazem
A v = \lambda v,
equivalente a
(A-\lambda I)v=0.
Os autovalores são as soluções da equação característica \det(A-\lambda I)=0. Uma observação muito útil (e que vou usar) é: para uma matriz triangular superior, o determinante é o produto dos elementos da diagonal, logo a equação característica se factoriza como o produto das diagonais (a_{11}-\lambda)(a_{22}-\lambda)(a_{33}-\lambda)=0. Vou usar isso para achar os autovalores rapidamente.
Passo 3
Cálculo dos autovalores usando o fato da triangularidade. A equação característica é
\begin{cases} 0\cdot x + 3y + \tfrac{1}{2}z = 0,\\[4pt] 0\cdot x -3y + \sqrt{2}\,z = 0,\\[4pt] 0\cdot x + 0\cdot y -2z = 0. \end{cases}
Da terceira equação obtemos -2z=0\Rightarrow z=0\].
Substituindo \(z=0 na primeira e segunda equações:
3y=0\quad\Rightarrow\quad y=0.
Não aparece x em nenhuma equação (todas as entradas da primeira coluna de A-I são zero), logo x é livre. Tomando x=t com t\neq 0, um autovetor genérico é
Podemos simplificar o coeficiente de x combinando frações: -\dfrac{3\sqrt{2}+\tfrac{1}{2}}{2}=-\dfrac{6\sqrt{2}+1}{4}. Portanto uma escolha mais limpa para um gerador do autoespaço é
Resumo e observações finais (breve motivação do que encontramos): todos os autovalores são distintos (1,-2,-1), cada um com multiplicidade algébrica 1; por isso é natural (e confirmado pelos cálculos) que cada autoespaço tenha dimensão geométrica 1. Encontramos uma base para cada autoespaço, ou seja um autovetor gerador para cada \lambda.