Achar todos os autovalores da matriz A e seus respectivos autoespaços, em que:
A=\left(\begin{array}{cc}1 & 3 \\\\ -2 & 6\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado fornece a matriz A e pede duas coisas:
  • Encontrar todos os autovalores de A.
  • Para cada autovalor, encontrar o autoespaço correspondente (o conjunto dos autovetores não nulos associados, usualmente descrito como um espaço gerado por vetores).
Informações dadas:
A=\begin{pmatrix}1 & 3 \\\\ -2 & 6\end{pmatrix}.
Não há outras informações escondidas: a matriz é 2\times2 e todas as entradas estão explícitas acima.

Passo 2

Conceito e método (explicação didática): para achar autovalores primeiro se calcula o polinômio característico p(\lambda)=\det(A-\lambda I). As raízes de p(\lambda) são os autovalores. Depois, para cada autovalor \lambda resolve-se o sistema linear
(A-\lambda I)x=0
para encontrar os vetores x não nulos que satisfazem isso; o conjunto desses vetores (mais o vetor zero) é o autoespaço associado a \lambda.
Aqui:
  • I é a matriz identidade 2\times2.
  • \lambda é um escalar (possível autovalor).
  • O determinante de uma 2\times2 é fácil de calcular: \det\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}=ad-bc.

Passo 3

Calcular o polinômio característico:
A-\lambda I=\begin{pmatrix}1-\lambda & 3 \\\\ -2 & 6-\lambda\end{pmatrix}.
O polinômio característico é
p(\lambda)=\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)(6-\lambda)- (3)(-2).
Agora expandir com calma:
(1-\lambda)(6-\lambda)=6-7\lambda+\lambda^2,
e
(3)(-2)=-6,
portanto
p(\lambda)=\bigl(6-7\lambda+\lambda^2\bigr)-(-6)=\lambda^2-7\lambda+12.

Passo 4

Resolver p(\lambda)=0:
\lambda^2-7\lambda+12=0.
Procuramos fatoração: 12=3\cdot4 e 3+4=7, logo
\lambda^2-7\lambda+12=(\lambda-3)(\lambda-4).
Assim as raízes são
\lambda=3\quad\text{e}\quad\lambda=4.
Cada autovalor tem multiplicidade algébrica 1 (são raízes simples).

Passo 5

Encontrar o autoespaço associado a \lambda=3. Montar e resolver
(A-3I)x=0,\quad\text{ou seja}\quad \begin{pmatrix}1-3 & 3 \\\\ -2 & 6-3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=0.
A matriz fica
\begin{pmatrix}-2 & 3\\\\ -2 & 3\end{pmatrix}.
As equações são equivalentes; escrevendo a primeira:
-2x+3y=0.
Resolver para x em função de y: 2x=3y então x=\dfrac{3}{2}y. Para evitar frações, escolhemos um parâmetro inteiro: seja y=2t com t\in\mathbb{R}. Então x=3t. Assim os vetores solução são
\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=t\begin{pmatrix}3\\\ 2\end{pmatrix},\quad t\in\mathbb{R}.
Portanto o autoespaço associado a \lambda=3 é
\operatorname{span}\!\left\{\begin{pmatrix}3\\\ 2\end{pmatrix}\right\}.

Passo 6

Encontrar o autoespaço associado a \lambda=4. Montar e resolver
(A-4I)x=0,\quad\text{ou seja}\quad \begin{pmatrix}1-4 & 3 \\\\ -2 & 6-4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=0.
A matriz fica
\begin{pmatrix}-3 & 3\\\\ -2 & 2\end{pmatrix}.
A primeira equação é
-3x+3y=0 \quad\Longrightarrow\quad y=x.
A segunda é proporcional e traz a mesma condição. Portanto os vetores solução são
\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=t\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix},\quad t\in\mathbb{R}.
Assim o autoespaço associado a \lambda=4 é
\operatorname{span}\!\left\{\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}\right\}.

Passo 7

Verificação rápida (para aumentar a confiança): multiplicar A pelos vetores geradores encontrados:
A\begin{pmatrix}3\\\ 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot3+3\cdot2\\\\ -2\cdot3+6\cdot2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3+6\\\\ -6+12\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}9\\\ 6\end{pmatrix}=3\begin{pmatrix}3\\\ 2\end{pmatrix},
A\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot1+3\cdot1\\\\ -2\cdot1+6\cdot1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4\\\ 4\end{pmatrix}=4\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}.
Isso confirma que os vetores são autovetores com os autovalores correspondentes.

Passo 8

Observação final didática: como os dois autovalores são distintos, cada um tem dimensão do autoespaço pelo menos 1 e, no caso 2\times2, isso garante que há dois autovetores linearmente independentes — informação útil se for preciso diagonalizar A. Mas o pedido original era apenas autovalores e autoespaços, que já foram obtidos.

Resposta

\lambda=3:\\ \text{autoespaço}=\operatorname{span}\!\left\{\begin{pmatrix}3\\\ 2\end{pmatrix}\right\}ç
\lambda=4:\\ \text{autoespaço}=\operatorname{span}\!\left\{\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}\right\}ç

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