Achar todos os autovalores da matriz A e seus respectivos autoespaços, em que: A=\left(\begin{array}{cc}1 & 3 \\\\ -2 & 6\end{array}\right).
Passo 1
O enunciado fornece a matriz A e pede duas coisas:
Encontrar todos os autovalores de A.
Para cada autovalor, encontrar o autoespaço correspondente (o conjunto dos autovetores não nulos associados, usualmente descrito como um espaço gerado por vetores).
Informações dadas:
A=\begin{pmatrix}1 & 3 \\\\ -2 & 6\end{pmatrix}.
Não há outras informações escondidas: a matriz é 2\times2 e todas as entradas estão explícitas acima.
Passo 2
Conceito e método (explicação didática): para achar autovalores primeiro se calcula o polinômio característico p(\lambda)=\det(A-\lambda I). As raízes de p(\lambda) são os autovalores. Depois, para cada autovalor \lambda resolve-se o sistema linear
(A-\lambda I)x=0
para encontrar os vetores x não nulos que satisfazem isso; o conjunto desses vetores (mais o vetor zero) é o autoespaço associado a \lambda.
Aqui:
I é a matriz identidade 2\times2.
\lambda é um escalar (possível autovalor).
O determinante de uma 2\times2 é fácil de calcular: \det\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}=ad-bc.
As equações são equivalentes; escrevendo a primeira:
-2x+3y=0.
Resolver para x em função de y: 2x=3y então x=\dfrac{3}{2}y. Para evitar frações, escolhemos um parâmetro inteiro: seja y=2t com t\in\mathbb{R}. Então x=3t. Assim os vetores solução são
Isso confirma que os vetores são autovetores com os autovalores correspondentes.
Passo 8
Observação final didática: como os dois autovalores são distintos, cada um tem dimensão do autoespaço pelo menos 1 e, no caso 2\times2, isso garante que há dois autovetores linearmente independentes — informação útil se for preciso diagonalizar A. Mas o pedido original era apenas autovalores e autoespaços, que já foram obtidos.