e pede: achar todos os autovalores de A e, para cada autovalor, descrever o respectivo autoespaço (ou seja, o conjunto dos vetores próprios correspondentes).\n
Informações relevantes fornecidas:
A é uma matriz quadrada 4\times4.
Os elementos diagonais são 1,\,-2,\,-1,\,3.
Pedido: listar todos os autovalores e os autoespaços (soluções de (A-\lambda I)x=0 para cada \lambda).\n
Observação: não se resolve nada neste passo; apenas identifiquei o que foi dado e o que é pedido.]
Passo 2
Breve explicação do que é autovalor e autoespaço e como aproveitamos a estrutura da matriz:
Definição: um número \lambda é autovalor de A se existe vetor não-nulo x tal que
A x = \lambda x,
isto é, se existe x\neq 0 com
(A-\lambda I)x=0.
O conjunto de todas as soluções (incluindo o vetor nulo) dessa equação é o autoespaço associado a \lambda (um subespaço vetorial).
Dica prática: para matrizes triangulares (superior ou inferior), os autovalores são exatamente as entradas da diagonal. Aqui A é triangular superior, logo os autovalores possíveis são as entradas diagonais:
Cada uma dessas \lambda deve agora ter o seu autoespaço encontrado resolvendo (A-\lambda I)x=0. Como todos os autovalores são distintos, espera-se que cada autoespaço tenha dimensão 1 (isto será confirmado resolvendo os sistemas).
Passo 3
Autovalor [\lambda=1). Montar A-I e resolver (A-I)x=0.
Da última equação superior (linha 4 escrita primeiro): 2x_4=0\Rightarrow x_4=0\].
- Em seguida \(-2x_3-5x_4=0\Rightarrow -2x_3=0\Rightarrow x_3=0.
- Depois -3x_2+\sqrt{2}\,x_3+2x_4=0\Rightarrow -3x_2=0\Rightarrow x_2=0.
- A primeira (linha 1) fica 0\cdot x_1 + 3x_2 + \tfrac{1}{2}x_3 - x_4=0, que com x_2=x_3=x_4=0 é 0=0, portanto x_1 é livre.
Escolhendo x_1=1 como gerador, um vetor próprio é
v^{(1)}=(1,0,0,0)^T.
Autoespaço associado:
E_{1}=\operatorname{span}\{(1,0,0,0)^T\}.]
Passo 4
Autovalor [\lambda=-2). Montar A-(-2)I=A+2I e resolver.
4x_4=0\Rightarrow x_4=0\].
- Então \(-5x_4=0 é satisfeita.
- Da segunda equação: -x_2+\sqrt{2}\,x_3=0\Rightarrow x_2=\sqrt{2}\,x_3.
- Primeira equação com x_4=0: 2x_1+3x_2+\tfrac{1}{2}x_3=0. Substituir x_2=\sqrt{2}\,x_3:
Resolver por volta descendente, tomando x_4=t\] livre:
- Da terceira equação: \(-4x_3-5x_4=0\Rightarrow x_3=-\dfrac{5}{4}x_4=-\dfrac{5}{4}t.
- Da segunda equação:
Encontramos quatro autovalores distintos \{1,-2,-1,3\}. Para cada um o autoespaço tem dimensão 1 (ou seja, cada autovalor tem multiplicidade algébrica 1 e multiplicidade geométrica 1). Logo existem quatro vetores próprios linearmente independentes, um para cada autovalor.\n
Resumindo os geradores dos autoespaços (cada autoespaço é a reta gerada pelo vetor indicado).