Achar todos os autovalores da matriz A e seus respectivos autoespaços, em que: A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 0 \\\\ -1 & -1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1\end{array}\right).
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (pegar estes dados do enunciado):
O enunciado pede: encontrar todos os autovalores (também chamados de valores próprios ou \lambda) de A e, para cada autovalor, encontrar o seu autoespaço (o subespaço formado pelos autovetores associados, incluindo o vetor zero).]
Passo 2
O que é preciso calcular e a ideia geral (definição usada):
Por definição, \lambda é autovalor de A se existe um vetor não nulo v tal que
A v = \lambda v.
Reescrevendo, isso dá
(A-\lambda I)v = 0.
Para existir solução não-trivial devemos ter
\det(A-\lambda I)=0.
Essa equação em \lambda é o polinômio característico; suas raízes são os autovalores. Depois, para cada autovalor \lambda resolvemos (A-\lambda I)v=0 para obter o autoespaço (o conjunto de todos os vetores v que satisfazem isso).
\begin{cases} 0\cdot x + 2y + 0\cdot z = 0,\\[4pt] - x -2y + z = 0,\\[4pt] 0\cdot x + y + 0\cdot z = 0. \end{cases}
Das equações da primeira e terceira linhas temos 2y=0\] e \(y=0, logo y=0. Substituindo y=0 na segunda equação:
- x + z = 0 \quad\Rightarrow\quad z = x.
Tomando x livre como parâmetro t, obtemos
v = t\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Portanto o autoespaço correspondente a \lambda=1 é o subespaço gerado por \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix} (dimensão 1).]
Passo 7
Encontrar o autoespaço associado a \lambda=0\): resolver \(A v=0\).
Escrevendo o sistema \(A v=0\) com \(v=(x,y,z)^T\):
\[\begin{cases} x + 2y + 0\cdot z = 0,\\[4pt] - x - y + z = 0,\\[4pt] 0\cdot x + y + z = 0. \end{cases}
Da primeira equação obtemos x=-2y\]. Da terceira equação obtemos \(z=-y. Verificando a segunda é consistente:
-(-2y) - y + (-y) = 2y - y - y = 0,
logo a segunda não impõe mais restrição. Tomando y livre como parâmetro s, obtemos
v = s\begin{pmatrix}-2\\[4pt]1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
Portanto o autoespaço correspondente a \lambda=0 é o subespaço gerado por \begin{pmatrix}-2\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix} (dimensão 1).]
Passo 8
Interpretação final rápida (útil para prova):
Os autovalores são \lambda=0 (multiplicidade algébrica 2) e \lambda=1 (multiplicidade algébrica 1).
As dimensões dos autoespaços (multiplicidades geométricas) encontradas são 1 para \lambda=0 e 1 para \lambda=1. Como a soma das dimensões dos autoespaços é 2 (menor que 3), a matriz não tem uma base formada por autovetores — em outras palavras, A não é diagonalizável sobre \mathbb{R}.