Observando a matriz, existem dois blocos 2\times2 na diagonal (o bloco superior esquerdo e o bloco inferior direito) e zeros fora desses blocos.
O que é pedido:
Encontrar todos os autovalores \lambda de A (ou seja, os \lambda tais que existe vetor não-nulo v com Av=\lambda v).
Para cada autovalor, encontrar o autoespaço, isto é, o conjunto de todos os vetores v que satisfazem Av=\lambda v (normalmente dado como o espaço nulo de A-\lambda I e apresentado por uma base).]
Passo 2
Por que observar os blocos ajuda (breve explicação didática):
Quando uma matriz é blocada em forma diagonal (zeros nos blocos fora da diagonal principal), o polinômio característico fatoriza como produto dos polinômios característicos dos blocos. Isso significa que os autovalores de A são os autovalores de cada bloco, e os autoespaços podem ser construídos a partir dos autoespaços dos blocos.
Vou calcular os polinômios característicos de B_1 e B_2, achar seus autovalores e então determinar os autoespaços correspondentes, lembrando que um autovetor de A terá coordenadas não nulas somente no bloco correspondente ao autovalor (se o outro bloco para aquele \lambda não tiver solução não-trivial).]
Passo 3
Calcular os autovalores de B_1.
O polinômio característico de um 2\times2\begin{pmatrix}a&b\\\ c&d\end{pmatrix} é (a-\lambda)(d-\lambda)-bc. Aplicando em B_1:
essas duas equações são equivalentes e reduzem a x_2 = -x_1\].
- Do bloco inferior (linhas 3 e 4):
\[\begin{pmatrix}-1 & 4\\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_3\\[4pt]x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}.\]
O determinante desse bloco é \((-1)(-1)-4\cdot1 = 1-4 = -3 \neq 0, logo a única solução para (x_3,x_4) é (0,0).
Conclusão: os autovetores associados a \lambda=2 têm a forma
Assim o autoespaço E_2 é gerado por \begin{pmatrix}1\\\\ -1\\\\ 0\\\\ 0\end{pmatrix}. Observação importante: a multiplicidade geométrica de \lambda=2 é 1 (dimensão do autoespaço), menor que a multiplicidade algébrica 2.]
Para \lambda=2 o autoespaço é unidimensional; isto significa que A não é diagonalizável (pois não há 4 autovetores linearmente independentes: a soma das dimensões geométricas dos autoespaços é 1+1+1=3<4).