Responda os seguintes itens:
-
é uma forma bilinear?
- Determinar a matriz da forma bilinear
.
-
é uma forma bilinear Simétrica.
- A matriz da forma bilinear
é simétrica?
- Determine todos os autovalores da matriz associada a forma bilinear
.
em que a aplicação
está dada por
e a base de
em que a aplicação
Passo 1
O enunciado pede cinco coisas claras; vou listar cada pergunta e os dados que temos:
- Perguntas:
-
é uma forma bilinear? - Determinar a matriz da forma bilinear
(na base dada). -
é uma forma bilinear simétrica? - A matriz da forma bilinear
é simétrica? - Determinar todos os autovalores da matriz associada à forma bilinear
.
-
- Dados fornecidos:
- A aplicação
está dada por - A base
de é
- A aplicação
Passo 2
Definição e verificação de bilinearidade (passo didático): Uma aplicação
é bilinear se, para todo
e todo escalar
,
-
, -
, -
, -
.
Isto significa: linearidade em cada argumento mantendo o outro fixo. Vou checar essas propriedades com vetores genéricos da forma, , .
Passo 3
Verificação explícita da linearidade no primeiro argumento (quando o segundo é fixo): sejam
e
e
. Então
Pelo enunciado,
Distribuindo (propriedades usuais da multiplicação),
Também, para escalar
,
Logo é linear no primeiro argumento.
Passo 4
Verificação da linearidade no segundo argumento (quando o primeiro é fixo): relação idêntica vale trocando os papéis. Tomando
fixo e
,
o que se expande em
E para escalar
,
Portanto é linear no segundo argumento também.
Passo 5
Conclusão sobre bilinearidade e simetria da forma
: das verificações acima segue que
é bilinear. Agora verificar se é simétrica: comparar
com
. Pelo enunciado,
e trocando os papéis,
Como
e
, as duas expressões coincidem, logo
é simétrica:
Passo 6
Construção da matriz associada à forma bilinear na base
(didática): para uma forma bilinear
e uma base
, a matriz associada
é dada por
Isto porque, se
têm coordenadas em relação a
como
e
, então
Vamos calcular explicitamente todos os
usando os vetores
e
.
Passo 7
Cálculo explícito dos elementos da matriz:
-
. Pelo enunciado, -
: -
: -
:
Passo 8
Escrita final da matriz e observação sobre simetria: com os elementos calculados temos
Observa-se que
, portanto
é simétrica. Isso concorda com o fato geral de que a matriz de uma forma bilinear simétrica em qualquer base é uma matriz simétrica.]
Passo 9
Cálculo dos autovalores da matriz
(passo didático): autovalores
satisfazem o polinômio característico
Calculemos
para
O determinante é
Expandindo:
e subtraindo
(porque
) obtemos o polinômio característico
Passo 10
Resolução do polinômio característico: resolver
Usando a fórmula quadrática,
Como
, simplifica-se para
Assim os dois autovalores são
e
. Numericamente, aproximadamente
e
.
Resposta
Sim.
Sim.
Sim.
\
]
Sim.