Responda os seguintes itens:
  • B é uma forma bilinear?
  • Determinar a matriz da forma bilinear B.
  • B é uma forma bilinear Simétrica.
  • A matriz da forma bilinear B é simétrica?
  • Determine todos os autovalores da matriz associada a forma bilinear B.
    em que a aplicação
    B: \mathbb{R}^{2} \times \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} está dada por
B\left(\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)\right)=x_{1} x_{2}-2 y_{1} y_{2}
e a base de \mathbb{R}^{2}
A=\{(-1,0),(1,2)\}

Passo 1

O enunciado pede cinco coisas claras; vou listar cada pergunta e os dados que temos:
  • Perguntas:
    1. B é uma forma bilinear?
    2. Determinar a matriz da forma bilinear B (na base dada).
    3. B é uma forma bilinear simétrica?
    4. A matriz da forma bilinear B é simétrica?
    5. Determinar todos os autovalores da matriz associada à forma bilinear B.
  • Dados fornecidos:
    • A aplicação B: \mathbb{R}^{2}\times\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R} está dada por B\bigl((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})\bigr)=x_{1}x_{2}-2y_{1}y_{2}.
    • A base A de \mathbb{R}^{2} é A=\{a_{1},a_{2}\},\qquad a_{1}=(-1,0),\;a_{2}=(1,2).

Passo 2

Definição e verificação de bilinearidade (passo didático): Uma aplicação B:V\times V\to\mathbb{R} é bilinear se, para todo u,v,w\in V e todo escalar \alpha\in\mathbb{R},
  • B(u+v,w)=B(u,w)+B(v,w),
  • B(\alpha u,w)=\alpha B(u,w),
  • B(u,v+w)=B(u,v)+B(u,w),
  • B(u,\alpha v)=\alpha B(u,v).
    Isto significa: linearidade em cada argumento mantendo o outro fixo. Vou checar essas propriedades com vetores genéricos da forma u=(x_{1},y_{1}), v=(x_{2},y_{2}), w=(x_{3},y_{3}).

Passo 3

Verificação explícita da linearidade no primeiro argumento (quando o segundo é fixo): sejam u=(x_{1},y_{1}) e v=(x_{1}',y_{1}') e w=(x_{2},y_{2}). Então
B(u+v,w)=B\bigl((x_{1}+x_{1}',\,y_{1}+y_{1}'),(x_{2},y_{2})\bigr).
Pelo enunciado,
B(u+v,w)=(x_{1}+x_{1}')x_{2}-2(y_{1}+y_{1}')y_{2}.
Distribuindo (propriedades usuais da multiplicação),
B(u+v,w)=x_{1}x_{2}-2y_{1}y_{2}+x_{1}'x_{2}-2y_{1}'y_{2}=B(u,w)+B(v,w).
Também, para escalar \alpha,
B(\alpha u,w)=B((\alpha x_{1},\alpha y_{1}),(x_{2},y_{2}))=\alpha x_{1}x_{2}-2\alpha y_{1}y_{2}=\alpha B(u,w).
Logo é linear no primeiro argumento.

Passo 4

Verificação da linearidade no segundo argumento (quando o primeiro é fixo): relação idêntica vale trocando os papéis. Tomando u=(x_{1},y_{1}) fixo e v=(x_{2},y_{2}),\,w=(x_{2}',y_{2}'),
B(u,v+w)=B\bigl((x_{1},y_{1}),(x_{2}+x_{2}',y_{2}+y_{2}')\bigr)=x_{1}(x_{2}+x_{2}')-2y_{1}(y_{2}+y_{2}'),
o que se expande em
x_{1}x_{2}-2y_{1}y_{2}+x_{1}x_{2}'-2y_{1}y_{2}'=B(u,v)+B(u,w).
E para escalar \alpha,
B(u,\alpha v)=x_{1}(\alpha x_{2})-2y_{1}(\alpha y_{2})=\alpha B(u,v).
Portanto é linear no segundo argumento também.

Passo 5

Conclusão sobre bilinearidade e simetria da forma B: das verificações acima segue que B é bilinear. Agora verificar se é simétrica: comparar B((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})) com B((x_{2},y_{2}),(x_{1},y_{1})). Pelo enunciado,
B((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))=x_{1}x_{2}-2y_{1}y_{2},
e trocando os papéis,
B((x_{2},y_{2}),(x_{1},y_{1}))=x_{2}x_{1}-2y_{2}y_{1}.
Como x_{1}x_{2}=x_{2}x_{1} e y_{1}y_{2}=y_{2}y_{1}, as duas expressões coincidem, logo B é simétrica:
B((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))=B((x_{2},y_{2}),(x_{1},y_{1})).

Passo 6

Construção da matriz associada à forma bilinear na base A (didática): para uma forma bilinear B e uma base A=\{a_{1},a_{2}\}, a matriz associada M é dada por
M=\bigl(m_{ij}\bigr)_{i,j=1}^{2},\qquad m_{ij}=B(a_{i},a_{j}).
Isto porque, se v,w têm coordenadas em relação a A como [v]_{A} e [w]_{A}, então
B(v,w)=[v]_{A}^{T}M[w]_{A}.
Vamos calcular explicitamente todos os m_{ij} usando os vetores a_{1}=(-1,0) e a_{2}=(1,2).

Passo 7

Cálculo explícito dos elementos da matriz:
  • m_{11}=B(a_{1},a_{1})=B((-1,0),(-1,0)). Pelo enunciado, m_{11}=(-1)\cdot(-1)-2\cdot 0\cdot 0=1.
  • m_{12}=B(a_{1},a_{2})=B((-1,0),(1,2)): m_{12}=(-1)\cdot 1-2\cdot 0\cdot 2=-1.
  • m_{21}=B(a_{2},a_{1})=B((1,2),(-1,0)): m_{21}=1\cdot(-1)-2\cdot 2\cdot 0=-1.
  • m_{22}=B(a_{2},a_{2})=B((1,2),(1,2)): m_{22}=1\cdot 1-2\cdot 2\cdot 2=1-8=-7.

Passo 8

Escrita final da matriz e observação sobre simetria: com os elementos calculados temos
M=\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt] -1 & -7\end{pmatrix}.
Observa-se que m_{12}=-1=m_{21}, portanto M é simétrica. Isso concorda com o fato geral de que a matriz de uma forma bilinear simétrica em qualquer base é uma matriz simétrica.]

Passo 9

Cálculo dos autovalores da matriz M (passo didático): autovalores \lambda satisfazem o polinômio característico
\det(M-\lambda I)=0.
Calculemos \det(M-\lambda I) para
M-\lambda I=\begin{pmatrix}1-\lambda & -1\\[4pt]-1 & -7-\lambda\end{pmatrix}.
O determinante é
\det(M-\lambda I)=(1-\lambda)(-7-\lambda)-(-1)(-1).
Expandindo:
(1-\lambda)(-7-\lambda)=\lambda^{2}+6\lambda-7,
e subtraindo 1 (porque (-1)(-1)=1) obtemos o polinômio característico
p(\lambda)=\lambda^{2}+6\lambda-8.]

Passo 10

Resolução do polinômio característico: resolver
\lambda^{2}+6\lambda-8=0.
Usando a fórmula quadrática,
\lambda=\frac{-6\pm\sqrt{6^{2}-4\cdot 1\cdot(-8)}}{2}=\frac{-6\pm\sqrt{36+32}}{2}=\frac{-6\pm\sqrt{68}}{2}.
Como \sqrt{68}=2\sqrt{17}, simplifica-se para
\lambda=-3\pm\sqrt{17}.
Assim os dois autovalores são \lambda_{1}=-3+\sqrt{17} e \lambda_{2}=-3-\sqrt{17}. Numericamente, aproximadamente \lambda_{1}\approx 1{,}123 e \lambda_{2}\approx -7{,}123.

Resposta

Sim.
\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]-1 & -7\end{pmatrix}
Sim.
Sim.
\lambda_{1}=-3+\sqrt{17}\
\lambda_{2}=-3-\sqrt{17}]

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