Achar todos os números primos que são iguais a um cubo perfeito menos 1 .
Passo 1
O enunciado pede todos os números primos
que podem ser escritos como
para algum inteiro
. O tema principal é usar a fatoração de diferença de cubos e, em seguida, aplicar a definição de número primo (só divisível por
e por si mesmo).
Passo 2
Aplicamos a fatoração de diferença de cubos:
Passo 3
Para que
seja primo, o produto
só pode ter fatores triviais. Logo, uma dessas duas parcelas deve ser
.
Passo 4
Analisamos os casos:
-
.
Entãoe que é primo. -
.
Entãoe que não é primo positivo. -
.
Então, ou seja , o que dá ou .
Para, ; para , nenhum deles é primo positivo.
Não há outros casos possíveis que gerem um número primo positivo.
Resposta
O único número primo que é um cubo perfeito menos 1 é
.