Achar todos os números primos que são iguais a um cubo perfeito menos 1 .

Passo 1

O enunciado pede todos os números primos p que podem ser escritos como
p = n^3 - 1
para algum inteiro n. O tema principal é usar a fatoração de diferença de cubos e, em seguida, aplicar a definição de número primo (só divisível por 1 e por si mesmo).

Passo 2

Aplicamos a fatoração de diferença de cubos:
n^3 - 1 = (n-1),(n^2 + n + 1)

Passo 3

Para que p = n^3 - 1 seja primo, o produto (n-1)(n^2+n+1) só pode ter fatores triviais. Logo, uma dessas duas parcelas deve ser pm1.

Passo 4

Analisamos os casos:
  1. n-1 = 1.
    Então n = 2 e
    p = 2^3 - 1 = 8 - 1 = 7,
    que é primo.
  2. n-1 = -1.
    Então n = 0 e
    p = 0^3 - 1 = -1,
    que não é primo positivo.
  3. n^2 + n + 1 = 1.
    Então n^2 + n = 0, ou seja n(n+1)=0, o que dá n=0 ou n=-1.
    Para n=0, p=-1; para n=-1,
    p = (-1)^3 - 1 = -2,
    nenhum deles é primo positivo.
Não há outros casos possíveis que gerem um número primo positivo.

Resposta

O único número primo que é um cubo perfeito menos 1 é 7.

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