Determinar todos os números inteiros positivos
tais que
e
são todos números primos.
Passo 1
O enunciado pede todos os inteiros positivos
tais que
,
e
sejam simultaneamente primos. O conteúdo chave aqui é usar a aritmética modular (especialmente módulo 3) e lembrar que, exceto o primo 2, todos os outros primos são ímpares.
Passo 2
Se
fosse par, então
não seria primo. Logo, para termos três números primos em progressão de razão 2, precisamos que
seja ímpar. Assim
são três ímpares consecutivos.
Passo 3
Entre três inteiros ímpares consecutivos, um deles é necessariamente múltiplo de 3. Em termos de resto em divisão por 3, temos três casos para
:
- Se
, então é múltiplo de 3 e, para , não é primo. - Se
, então , logo só pode ser primo se for igual a 3. - Se
, então , logo só pode ser primo se for igual a 3.
Passo 4
Precisamos que o múltiplo de 3 que aparece em
seja exatamente 3. As únicas maneiras de ter 3 nessa lista são:
-
, o que dá o triplo . -
, isto é , mas não é primo. -
, isto é , não sendo positivo.
Portanto, a única solução válida é
.