Determinar todos os números inteiros positivos n tais que n, n+2 e n+4 são todos números primos.

Passo 1

O enunciado pede todos os inteiros positivos n tais que n, n+2 e n+4 sejam simultaneamente primos. O conteúdo chave aqui é usar a aritmética modular (especialmente módulo 3) e lembrar que, exceto o primo 2, todos os outros primos são ímpares.

Passo 2

Se n>2 fosse par, então n não seria primo. Logo, para termos três números primos em progressão de razão 2, precisamos que n seja ímpar. Assim n,n+2,n+4 são três ímpares consecutivos.

Passo 3

Entre três inteiros ímpares consecutivos, um deles é necessariamente múltiplo de 3. Em termos de resto em divisão por 3, temos três casos para n:
  • Se nequiv0pmod3, então n é múltiplo de 3 e, para n>3, não é primo.
  • Se nequiv1pmod3, então n+2equiv0pmod3, logo n+2 só pode ser primo se for igual a 3.
  • Se nequiv2pmod3, então n+4equiv0pmod3, logo n+4 só pode ser primo se for igual a 3.

Passo 4

Precisamos que o múltiplo de 3 que aparece em n,n+2,n+4 seja exatamente 3. As únicas maneiras de ter 3 nessa lista são:
  • n=3, o que dá o triplo (3,5,7).
  • n+2=3, isto é n=1, mas 1 não é primo.
  • n+4=3, isto é n=-1, não sendo positivo.
Portanto, a única solução válida é n=3.

Resposta

3

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