Achar o trabalho realizado pela força F=x(x+y) i+x^2 y j ao mover uma partícula da origem ao longo do eixo x para ( 1,0 ), em seguida ao longo de um segmento de reta até (0,1), e então de volta à origem ao longo do eixo y.
Calcule a integral diretamente.

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos o trabalho
integralCFcdot dr
da força F(x,y)=x(x+y),i+x^2y,j ao percorrer o caminho C que é a junção de três trechos:
  1. de (0,0) a (1,0) ao longo do eixo x,
  2. de (1,0) a (0,1) por um segmento de reta,
  3. de (0,1) de volta a (0,0) ao longo do eixo y.
    Vamos parametrizar cada trecho, calcular integralFcdot dr separadamente e depois somar.

Passo 2

Trecho 1: eixo x de (0,0) a (1,0).
Parametrização r1(t)=(t,0), 0<= t<=1.
Então
F(r1(t))=tl(t+0r),i+t^2cdot0,j=t^2,i,
dr1=(dt,0),
Fcdot dr1=t^2,dt
Integrando:
integral0^1t^2,dt=[t^33]0^1=13

Passo 3

Trecho 2: reta de (1,0) a (0,1).
Parametrização r2(t)=(1-t,,t), 0<= t<=1.
Então x=1-t, y=t,
F(r2(t))=(1-t)l((1-t)+tr),i+(1-t)^2t,j=(1-t),i+(1-t)^2t,j,
dr2=(-dt,,dt)
O produto interno é
Fcdot dr2=-(1-t),dt+(1-t)^2t,dt =-l(1-tr)+tl(1-tr)^2,,dt
Simplificando o integrando:
-l(1-tr)+t(1-2t+t^2) =-1+2t-2t^2+t^3
Logo
integral0^1l(-1+2t-2t^2+t^3r),dt =l[-t+t^2-tfrac23t^3+tfrac14t^4r]0^1 =-1+1-tfrac23+tfrac14 =-tfrac512

Passo 4

Trecho 3: eixo y de (0,1) a (0,0).
Parametrização r3(t)=(0,,t), 1>= t>=0.
Como x=0 em todo o trecho,
F=(0,0) e portanto
Fcdot dr3=0,
integral1^00,dt=0

Passo 5

Somando os resultados dos três trechos:
13+l(-tfrac512r)+0 =412-512 =-112

Resposta

-112

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