Achar o trabalho realizado pela força
ao mover uma partícula da origem ao longo do eixo
para ( 1,0 ), em seguida ao longo de um segmento de reta até
, e então de volta à origem ao longo do eixo
.
Calcule a integral diretamente.
Calcule a integral diretamente.
Passo 1
Resumindo o enunciado: queremos o trabalho
da força
ao percorrer o caminho
que é a junção de três trechos:
- de
a ao longo do eixo , - de
a por um segmento de reta, - de
de volta a ao longo do eixo .
Vamos parametrizar cada trecho, calcularseparadamente e depois somar.
Passo 2
Trecho 1: eixo
de
a
.
Parametrização ,
.
Então
Parametrização
Então
Integrando:
Passo 3
Trecho 2: reta de
a
.
Parametrização ,
.
Então ,
,
Parametrização
Então
O produto interno é
Simplificando o integrando:
Logo
Passo 4
Trecho 3: eixo
de
a
.
Parametrização ,
.
Como em todo o trecho,
e portanto
Parametrização
Como
Passo 5
Somando os resultados dos três trechos: