Para f(x, y)=x^2+3 y^2, D=(x, y) in R^2 ; x^2+y^2 <= 1, determine os valores máximos e mínimos absolutos no conjunto D.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os valores máximos e mínimos absolutos da função f(x, y) = x^2 + 3y^2 dentro do conjunto D = (x, y) in R^2 ; x^2 + y^2 <= 1 . Isso envolve entender um pouco de cálculo multivariável, especificamente otimização de funções em regiões fechadas.

Passo 2

Primeiro, vamos procurar pelos pontos críticos dentro da região D . Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de f em relação a x e y e igualá-las a zero.
Derivada parcial em relação a x :
partial fpartial x = 2x
Derivada parcial em relação a y :
partial fpartial y = 6y
Igualando as derivadas a zero:
2x = 0 Rightarrow x = 0
6y = 0 Rightarrow y = 0
Então, o único ponto crítico dentro de D é (0, 0) .

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor de f nesse ponto crítico:
f(0, 0) = 0^2 + 3 times 0^2 = 0
Esse é um candidato a mínimo ou máximo. Mas precisamos verificar também os pontos na borda de D , ou seja, onde x^2 + y^2 = 1 .

Passo 4

Para tratar a borda, podemos usar uma parametrização polar, já que estamos lidando com um círculo de raio 1. Vamos definir:
x = cos(theta)
y = sin(theta)
onde theta varia de 0 a 2pi .
Substituindo na função f :
f(cos(theta), sin(theta)) = (cos(theta))^2 + 3(sin(theta))^2
= cos^2(theta) + 3sin^2(theta)

Passo 5

Agora, simplificamos a expressão usando a identidade trigonométrica cos^2(theta) = 1 - sin^2(theta) :
f = 1 - sin^2(theta) + 3sin^2(theta)
= 1 + 2sin^2(theta)
Queremos encontrar os valores máximos e mínimos dessa expressão. Sabemos que sin^2(theta) varia entre 0 e 1.

Passo 6

Assim:
  • O valor mínimo ocorre quando sin^2(theta) = 0 :
fmin = 1 + 2 times 0 = 1
  • O valor máximo ocorre quando sin^2(theta) = 1 :
fmax = 1 + 2 times 1 = 3

Passo 7

Agora, vamos juntar tudo:
  • No ponto crítico (0, 0) , f(0, 0) = 0 .
  • Na borda, f varia entre 1 e 3.

Passo 8

Comparando os valores:
  • O menor valor é 0, atingido no ponto (0, 0) .
  • O maior valor é 3, alcançado nos pontos onde sin(theta) = pm 1 , ou seja, (0, 1) e (0, -1) .

Resposta

O valor mínimo absoluto de f no conjunto D é 0, atingido no ponto (0, 0) , e o valor máximo absoluto é 3, atingido nos pontos (0, 1) e (0, -1) .

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