Para
, determine os valores máximos e mínimos absolutos no conjunto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os valores máximos e mínimos absolutos da função
dentro do conjunto
. Isso envolve entender um pouco de cálculo multivariável, especificamente otimização de funções em regiões fechadas.
Passo 2
Primeiro, vamos procurar pelos pontos críticos dentro da região
. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
e igualá-las a zero.
Derivada parcial em relação a
:
Derivada parcial em relação a
:
Igualando as derivadas a zero:
Então, o único ponto crítico dentro de
é
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o valor de
nesse ponto crítico:
Esse é um candidato a mínimo ou máximo. Mas precisamos verificar também os pontos na borda de
, ou seja, onde
.
Passo 4
Para tratar a borda, podemos usar uma parametrização polar, já que estamos lidando com um círculo de raio 1. Vamos definir:
onde
varia de
a
.
Substituindo na função
:
Passo 5
Agora, simplificamos a expressão usando a identidade trigonométrica
:
Queremos encontrar os valores máximos e mínimos dessa expressão. Sabemos que
varia entre 0 e 1.
Passo 6
Assim:
- O valor mínimo ocorre quando
:
- O valor máximo ocorre quando
:
Passo 7
Agora, vamos juntar tudo:
- No ponto crítico
, . - Na borda,
varia entre 1 e 3.
Passo 8
Comparando os valores:
- O menor valor é 0, atingido no ponto
. - O maior valor é 3, alcançado nos pontos onde
, ou seja, e .
Resposta
O valor mínimo absoluto de
no conjunto
é 0, atingido no ponto
, e o valor máximo absoluto é 3, atingido nos pontos
e
.