Calcule a área da região e .

Passo 1

O enunciado define a região em coordenadas cartesianas
(x,y)mid 1<= x<= 2,;0<= y<= x^2+2x+2.
Para calcular a área usamos a integral dupla de uma função constante igual a 1 sobre essa região.

Passo 2

Expressamos a área pela integral iterada e integramos em y:
A = integral1^2integral0^x^2+2x+21,dy,dx = integral1^2l(x^2+2x+2r),dx

Passo 3

Determinamos uma antiderivada de x^2+2x+2:
integrall(x^2+2x+2r),dx = x^33 + x^2 + 2x + C

Passo 4

Avaliamos essa primitiva entre os limites 1 e 2:
(2^33 + 2^2 + 2cdot2) -(1^33 + 1^2 + 2cdot1) = l(tfrac83+8r)-l(tfrac13+3r)

Passo 5

Simplificando cada termo obtemos
A = 323 - 103 = 223

Resposta

223

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