Seja a função
F(x, y)=x y+x-y
com o domínio de F sendo o quadrado Q=(x, y) ;|x| <= 1 e |y| <= 1.
Encontre os valores de máximo e de mínimo de F.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos apresenta uma função de duas variáveis, F(x, y) = xy + x - y , definida dentro de um quadrado Q onde |x| <= 1 e |y| <= 1 . Nosso objetivo é encontrar os valores máximo e mínimo dessa função dentro desse domínio. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e análise de extremos em funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função F(x, y) dentro do quadrado Q . Para isso, calculamos as derivadas parciais de F em relação a x e y e igualamos a zero.
A derivada parcial de F em relação a x é:
Fx = partial Fpartial x = y + 1
E a derivada parcial em relação a y é:
Fy = partial Fpartial y = x - 1
Agora, igualamos ambas as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Fx = y + 1 = 0 Rightarrow y = -1
Fy = x - 1 = 0 Rightarrow x = 1
Então, o ponto crítico dentro de Q é (1, -1) .

Passo 3

Agora, vamos avaliar a função F nesse ponto crítico:
F(1, -1) = (1)(-1) + 1 - (-1) = -1 + 1 + 1 = 1
Esse é um possível valor extremo da função dentro de Q .

Passo 4

Além dos pontos críticos internos, precisamos verificar os valores da função nas fronteiras do quadrado Q . As fronteiras são definidas por x = 1 , x = -1 , y = 1 e y = -1 . Vamos analisar cada uma dessas situações:
  1. Para x = 1 :
F(1, y) = (1)y + 1 - y = y + 1 - y = 1
Então, para todo y nesse caso, F = 1 .
  1. Para x = -1 :
F(-1, y) = (-1)y + (-1) - y = -y - 1 - y = -2y - 1
Essa é uma função linear em y . Para encontrar os valores extremos dentro de |y| <= 1 :
  • Para y = 1 : F(-1, 1) = -2(1) - 1 = -3
  • Para y = -1 : F(-1, -1) = -2(-1) - 1 = 2 - 1 = 1
  1. Para y = 1 :
F(x, 1) = x(1) + x - 1 = x + x - 1 = 2x - 1
Função linear em x :
  • Para x = 1 : F(1, 1) = 2(1) - 1 = 1
  • Para x = -1 : F(-1, 1) = 2(-1) - 1 = -3
  1. Para y = -1 :
F(x, -1) = x(-1) + x - (-1) = -x + x + 1 = 1
Aqui, F = 1 para todo x .

Passo 5

Agora, vamos compilar todos os valores que encontramos:
  • No ponto crítico (1, -1) : F = 1
  • Nas fronteiras:
    • x = 1 : F = 1 para todo y
    • x = -1 : F varia entre -3 e 1
    • y = 1 : F varia entre -3 e 1
    • y = -1 : F = 1 para todo x
Os valores máximo e mínimo são os maiores e menores valores encontrados entre esses, ou seja:

Resposta

O valor máximo de F é 1 e o valor mínimo de F é -3 .

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