Seja a função
com o domínio de
sendo o quadrado
e
.
Encontre os valores de máximo e de mínimo de
.
Encontre os valores de máximo e de mínimo de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos apresenta uma função de duas variáveis,
, definida dentro de um quadrado
onde
e
. Nosso objetivo é encontrar os valores máximo e mínimo dessa função dentro desse domínio. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e análise de extremos em funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função
dentro do quadrado
. Para isso, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e
e igualamos a zero.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Agora, igualamos ambas as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Então, o ponto crítico dentro de
é
.
Passo 3
Agora, vamos avaliar a função
nesse ponto crítico:
Esse é um possível valor extremo da função dentro de
.
Passo 4
Além dos pontos críticos internos, precisamos verificar os valores da função nas fronteiras do quadrado
. As fronteiras são definidas por
,
,
e
. Vamos analisar cada uma dessas situações:
- Para
:
Então, para todo
nesse caso,
.
- Para
:
Essa é uma função linear em
. Para encontrar os valores extremos dentro de
:
- Para
: - Para
:
- Para
:
Função linear em
:
- Para
: - Para
:
- Para
:
Aqui,
para todo
.
Passo 5
Agora, vamos compilar todos os valores que encontramos:
- No ponto crítico
: - Nas fronteiras:
-
: para todo -
: varia entre e -
: varia entre e -
: para todo
-
Os valores máximo e mínimo são os maiores e menores valores encontrados entre esses, ou seja:
Resposta
O valor máximo de
é
e o valor mínimo de
é
.