Usar a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial proposto.
y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=6 e^{-t} ; \quad y(0)=3, y^{\prime}(0)=3

Passo 1

O problema é o problema de valor inicial
y'' - 3y' + 2y = 6e^{-t},\quad y(0)=3,\;y'(0)=3.
Vamos usar a transformada de Laplace para resolver. Seja Y(s)=\mathcal L\{y(t)\}. Lembrando que
\mathcal L\{y'\}=sY(s)-y(0),\qquad \mathcal L\{y''\}=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0),
e também \mathcal L\{e^{-t}\}=\tfrac1{s+1}.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace na equação diferencial, obtemos
\bigl(s^2Y(s)-s\cdot3-3\bigr) -3\bigl(sY(s)-3\bigr) +2Y(s) =6\cdot\frac1{s+1}.
Agora simplificamos os termos envolvendo Y(s) e os termos constantes.

Passo 3

Reagrupando, temos
(s^2-3s+2)\,Y(s)\;+\;(-3s-3+9) \;=\;\frac{6}{s+1}.
Como -3s-3+9=-3s+6, segue
(s^2-3s+2)\,Y(s)=\frac{6}{s+1}+3s-6.
Como s^2-3s+2=(s-1)(s-2), podemos escrever
Y(s) =\frac{\frac{6}{s+1}+3s-6}{(s-1)(s-2)} =\frac{3s(s-1)}{(s+1)(s-1)(s-2)} =\frac{3s}{(s+1)(s-2)}.

Passo 4

Para inverter a transformada fazemos frações parciais:
\frac{3s}{(s+1)(s-2)} =\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s-2}.
Multiplicando por (s+1)(s-2) 3s=A(s-2)+B(s+1).
Tomando s=2 obtemos 6=3B\implies B=2.
Tomando s=-1 obtemos -3=-3A\implies A=1.
Logo
Y(s)=\frac{1}{s+1}+\frac{2}{s-2}.

Passo 5

Aplicando a transformada inversa em cada parcela:
y(t)=\mathcal L^{-1}\Bigl\{\tfrac1{s+1}\Bigr\} +2\,\mathcal L^{-1}\Bigl\{\tfrac1{s-2}\Bigr\} =e^{-t}+2e^{2t}.

Resposta

y(t)=e^{-t}+2e^{2t}.

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