Achar a transformada inversa de Laplace das funções.
F(s)=\frac{5}{s^{2}+3 s-4}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
F(s)=\frac{5}{s^{2}+3s-4}.
O conteúdo principal aqui é decomposição em frações parciais e uso da tabela básica
\mathcal{L}^{-1}\{1/(s-a)\}=e^{at}u(t).

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador:
s^{2}+3s-4 = (s-1)(s+4).

Passo 3

Escrevemos a decomposição em frações parciais:
\frac{5}{(s-1)(s+4)} = \frac{A}{s-1} + \frac{B}{s+4}.
Multiplicando ambos os lados por (s-1)(s+4), obtemos
5 = A(s+4) + B(s-1).

Passo 4

Para encontrar A e B, escolhemos valores convenientes de s:
\text{se }s=1:\quad 5 = A(1+4)\implies A=1,
\text{se }s=-4:\quad 5 = B(-4-1)\implies B=-1.
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F(s) = \frac{1}{s-1} - \frac{1}{s+4}.

Passo 5

Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo:
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s-1}\Bigr\}=e^{t}u(t), \qquad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s+4}\Bigr\}=e^{-4t}u(t).
Portanto, para t\ge0,
f(t)=e^{t}-e^{-4t}.

Resposta

f(t)=e^{t}-e^{-4t}.

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