Represente cada uma das funções a seguir com o auxílio da função degrau unitário, determinando sua transformada de Laplace em seguida.
f(t)= \begin{cases}0, & \text { se } t<\pi \\\ t-\pi, & \text { se } \pi \leq t<2 \pi \\\\ 0, & \text { se } t \geq 2 \pi\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede para escrever
f(t)= \begin{cases} 0,&t<\pi,\\\ t-\pi,&\pi\le t<2\pi,\\\\ 0,&t\ge2\pi \end{cases}
usando a função degrau unitário u(t) e em seguida calcular a transformada de Laplace de f(t). Vamos usar a propriedade de deslocamento no tempo (segunda propriedade de deslocamento):
\mathcal{L}\{g(t-a)\,u(t-a)\}=e^{-a s}\,G(s),
onde G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\}.

Passo 2

Reescrevemos f(t) com degraus unitários. Note que f(t) vale t-\pi só entre \pi e 2\pi. Logo
f(t)=(t-\pi)\,u(t-\pi)\;-\;(t-\pi)\,u(t-2\pi).

Passo 3

Aplicamos a transformada de Laplace termo a termo. Chamemos
F_1(t)=(t-\pi)\,u(t-\pi), \quad F_2(t)=(t-\pi)\,u(t-2\pi),
de modo que \mathcal{L}\{f(t)\}=\mathcal{L}\{F_1\}-\mathcal{L}\{F_2\}.

Passo 4

Para F_1(t)=(t-\pi)\,u(t-\pi) usamos g(t)=t e a=\pi. Como
\mathcal{L}\{t\}=\frac{1}{s^2},
temos
\mathcal{L}\{F_1(t)\} =e^{-\pi s}\;\frac{1}{s^2}.

Passo 5

Para F_2(t)=(t-\pi)\,u(t-2\pi) escrevemos t-\pi=(\tau+2\pi)-\pi=\tau+\pi com \tau=t-2\pi. Então é como se tivéssemos
g(\tau)=\tau+\pi, \quad a=2\pi,
e
\mathcal{L}\{\tau\}=\frac{1}{s^2}, \quad \mathcal{L}\{\pi\}=\frac{\pi}{s}.
Pelo deslocamento,
\mathcal{L}\{F_2(t)\} =e^{-2\pi s}\Bigl(\frac{1}{s^2}+\frac{\pi}{s}\Bigr).

Passo 6

Subtraindo os dois termos,
\mathcal{L}\{f(t)\} =e^{-\pi s}\frac{1}{s^2} \;-\; e^{-2\pi s}\Bigl(\frac{1}{s^2}+\frac{\pi}{s}\Bigr).
Podemos reorganizar como
\mathcal{L}\{f(t)\} =\frac{e^{-\pi s}-e^{-2\pi s}}{s^2} \;-\;\frac{\pi\,e^{-2\pi s}}{s}.

Resposta

f(t)=(t-\pi)\bigl[u(t-\pi)-u(t-2\pi)\bigr],
\mathcal{L}\{f(t)\} =\frac{e^{-\pi s}-e^{-2\pi s}}{s^2} -\frac{\pi\,e^{-2\pi s}}{s}.

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