Calcule as transformadas de Laplace das seguintes funções aplicando a definição e/ou as propriedades. Considere \boldsymbol{t} a variável e \boldsymbol{a} e \boldsymbol{w} constantes. \boldsymbol{t}^{\mathbf{2}}-\mathbf{2}
Passo 1
O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace da função \;t^{2}-2\;, onde \;t\; é a variável e \;a\; e \;w\; são constantes (essas \;a\; e \;w\; não aparecem na função dada, então não serão usadas).
Informações relevantes dadas: \;t^{2}-2\; é a função a transformar.
Queremos \;\mathcal{L}\{t^{2}-2\}(s)\; (variável usual da transformada: \;s\;) e o intervalo de integração será [0,\infty).
Passo 2
Vou usar a definição da transformada de Laplace e a propriedade de linearidade. Primeiro, a definição:
onde \;s\; é um número complexo com parte real suficiente grande para garantir convergência (mais adiante indicarei a condição em \Re(s)).
Propriedade de linearidade (útil e muito usada): para constantes \alpha,\beta,
Faço integração por partes escolhendo u=t^{2} e dv=e^{-st}\,dt. Então du=2t\,dt e v=-\dfrac{1}{s}e^{-st}. Pela fórmula de partes:
\int_{0}^{\infty} t^{2} e^{-st}\,dt = \left. -\frac{t^{2}}{s}e^{-st}\right|_{0}^{\infty} + \frac{2}{s}\int_{0}^{\infty} t e^{-st}\,dt.
Avalio o termo de fronteira \left. -\dfrac{t^{2}}{s}e^{-st}\right|_{0}^{\infty}. Para \Re(s)>0 temos e^{-st} decaindo exponencialmente e domina t^{2}, então o limite quando t\to\infty é 0; no t=0 o termo é 0. Logo o termo de fronteira é 0. Assim
\int_{0}^{\infty} t^{2} e^{-st}\,dt = \frac{2}{s}\int_{0}^{\infty} t e^{-st}\,dt.
Passo 5
Calculo \int_{0}^{\infty} t e^{-st}\,dt por partes também. Escolho u=t e dv=e^{-st}\,dt. Então du=dt e v=-\dfrac{1}{s}e^{-st}. Pela fórmula:
\int_{0}^{\infty} t e^{-st}\,dt = \left. -\frac{t}{s}e^{-st}\right|_{0}^{\infty} + \frac{1}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,dt.
Novamente o termo de fronteira é 0 para \Re(s)>0. Já calculamos \int_{0}^{\infty} e^{-st}\,dt=\dfrac{1}{s}. Portanto
\int_{0}^{\infty} t e^{-st}\,dt = \frac{1}{s}\cdot\frac{1}{s}=\frac{1}{s^{2}}.