Seja
dada por
. Encontre os autovalores e os autovetores de
.
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
definida por
O que pede: encontrar os autovalores (valores escalares
) e os autovetores (vetores não-nulos
) de
.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- A regra explícita de
para um vetor genérico é . - O espaço é
com a base canônica implícita.
Passo 2
Definição e método (aulas rápidas, sem pular etapas). Um vetor
é autovetor de
com autovalor
se vale
Se representarmos
por uma matriz
na base canônica, então a condição vira
Para existir solução não-trivial
desse sistema linear é necessário e suficiente que a matriz
seja singular, isto é, que
Esse determinante em função de
é o polinômio característico; suas raízes dão os autovalores. Depois de obter
, substituímos em
e resolvemos o sistema para achar os autovetores (que formam um subespaço — a autoespaço).
Passo 3
Construímos a matriz
de
na base canônica. Aplicando
aos vetores da base
e
:
Logo a matriz de
é
Passo 4
Calculamos o polinômio característico
. Primeiro escrevemos
:
O determinante é
Passo 5
Encontramos as raízes do polinômio característico:
Portanto os autovalores são
e
. Cada um tem multiplicidade algébrica 1 (raiz simples), então esperamos um autovetor não-nulo distinto para cada.
Passo 6
Autovetores para
Se
, o sistema linear é
A segunda equação é
, ou seja
Assim os vetores autovetores têm a forma
com
. Podemos escolher como representante o vetor
. Verificação rápida:
confirmando que
é autovetor associado a
.]
Passo 7
Autovetores para
Se
, o sistema é
A segunda é
. Logo os autovetores são
com
. Podemos escolher o representante
. Verificação:
confirmando que
é autovetor associado a
.]
Passo 8
Resumo e interpretação para a prova (um empurrãozinho motivador). Cada autovalor real distinto gerou um autoespaço unidimensional (reta) gerada pelo autovetor escolhido. Na prova, o procedimento padrão é: escrever a matriz, formar
, achar
, e então resolver
para cada
. Dá pra fazer isso sem calculadora para matrizes
como esta — é direto.