(6.) Como achar un elemento de ordem 4 em
? Quants elements de ordin 4 há?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Achar um elemento de ordem 4 em
. - Dizer quantos elementos de ordem 4 existem em
.
Informações relevantes dadas (implícitas no enunciado):
- Trabalhamos no grupo
(o grupo aditivo dos inteiros módulo ), que tem ordem . - Em
um elemento típico é com .
Passo 2
Fórmula chave: a ordem do elemento
em
é
Explicação e prova curta dessa fórmula (passo a passo, sem pular etapas):
- A ordem de
é o menor inteiro positivo tal que , isto é, tal que . - A congruência
significa que divide . - Seja
. Podemos escrever e com . - A condição
torna-se , isto é, . - Como
, para que é necessário e suficiente que . - Logo o menor
com essa propriedade é . - Como
, obtemos .
Isso mostra a validade da fórmula e como usá-la.
Passo 3
Aplicando a fórmula para pedir ordem
:
- Queremos
. - Pela fórmula isso equivale a
- Isolando a
temos
Portanto precisamos escolher
tal que
.
Passo 4
Como encontrar todos os
com
:
- Escrevemos
. Se então é múltiplo de : para algum (considerando representantes módulo ). - Substituindo,
equivale a . Assim devemos ter . - Os
entre e com são e . (Porque , , , .) - Portanto os
desejados (em ) são e .
Verificação explícita rápida:
- Para
: , e , , . Logo a ordem é exatamente . - Para
: , então tem a mesma ordem de , ou seja .
Passo 5
Contagem geral usando conceito de grupo cíclico:
-
é um grupo cíclico de ordem . Em todo grupo cíclico de ordem , o número de elementos de ordem exatamente (quando divide ) é , onde é a função totiente de Euler. - Aqui
e , logo o número de elementos de ordem é
- Calculando
: os inteiros de a coprimos com são e , então . - Isso coincide com a listagem que fizemos: os dois elementos são
e .