(6.) Como achar un elemento de ordem 4 em \mathbb{Z}_{400} ? Quants elements de ordin 4 há?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Achar um elemento de ordem 4 em \mathbb{Z}_{400}.
  • Dizer quantos elementos de ordem 4 existem em \mathbb{Z}_{400}.
Informações relevantes dadas (implícitas no enunciado):
  • Trabalhamos no grupo \mathbb{Z}_{400} (o grupo aditivo dos inteiros módulo 400), que tem ordem 400.
  • Em \mathbb{Z}_{400} um elemento típico é [k] com k\in\{0,1,\dots,399\}.

Passo 2

Fórmula chave: a ordem do elemento [k] em \mathbb{Z}_{400} é
\operatorname{ord}([k])=\frac{400}{\gcd(400,k)}.
Explicação e prova curta dessa fórmula (passo a passo, sem pular etapas):
  • A ordem de [k] é o menor inteiro positivo m tal que m[k]=[0], isto é, tal que mk\equiv 0\pmod{400}.
  • A congruência mk\equiv 0\pmod{400} significa que 400 divide mk.
  • Seja g=\gcd(400,k). Podemos escrever 400=g\cdot 400' e k=g\cdot k' com \gcd(400',k')=1.
  • A condição 400\mid mk torna-se g\cdot 400'\mid m\cdot g\cdot k', isto é, 400'\mid m k'.
  • Como \gcd(400',k')=1, para que 400'\mid m k' é necessário e suficiente que 400'\mid m.
  • Logo o menor m>0 com essa propriedade é m=400'.
  • Como 400'=400/g, obtemos \operatorname{ord}([k])=400/g=400/\gcd(400,k).
    Isso mostra a validade da fórmula e como usá-la.

Passo 3

Aplicando a fórmula para pedir ordem 4:
  • Queremos \operatorname{ord}([k])=4.
  • Pela fórmula isso equivale a
\frac{400}{\gcd(400,k)}=4.
  • Isolando a \gcd temos
\gcd(400,k)=\frac{400}{4}=100.
Portanto precisamos escolher k tal que \gcd(400,k)=100.

Passo 4

Como encontrar todos os k com \gcd(400,k)=100:
  • Escrevemos 400=100\cdot 4. Se \gcd(400,k)=100 então k é múltiplo de 100: k=100\cdot t para algum t\in\{0,1,2,3\} (considerando representantes módulo 400).
  • Substituindo, \gcd(400,k)=100 equivale a \gcd(100\cdot 4,100\cdot t)=100\cdot\gcd(4,t)=100. Assim devemos ter \gcd(4,t)=1.
  • Os t entre 0 e 3 com \gcd(4,t)=1 são t=1 e t=3. (Porque \gcd(4,0)=4, \gcd(4,1)=1, \gcd(4,2)=2, \gcd(4,3)=1.)
  • Portanto os k desejados (em \{0,\dots,399\}) são k=100\cdot 1=100 e k=100\cdot 3=300.
Verificação explícita rápida:
  • Para [100]: 4[100]=[400]=[0], e 1[100]=[100]\neq[0], 2[100]=[200]\neq[0], 3[100]=[300]\neq[0]. Logo a ordem é exatamente 4.
  • Para [300]: 300\equiv -100\pmod{400}, então [300] tem a mesma ordem de [100], ou seja 4.

Passo 5

Contagem geral usando conceito de grupo cíclico:
  • \mathbb{Z}_{400} é um grupo cíclico de ordem 400. Em todo grupo cíclico de ordem n, o número de elementos de ordem exatamente d (quando d divide n) é \varphi(d), onde \varphi é a função totiente de Euler.
  • Aqui d=4 e 4\mid 400, logo o número de elementos de ordem 4 é
\varphi(4).
  • Calculando \varphi(4): os inteiros de 1 a 4 coprimos com 4 são 1 e 3, então \varphi(4)=2.
  • Isso coincide com a listagem que fizemos: os dois elementos são [100] e [300].

Resposta

[100] (por exemplo; também [300]).
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