achar a ordem de cada elemento.
Passo 1
O enunciado dá o grupo
e pede: achar a ordem de cada elemento.
Informações úteis imediatas que o enunciado fornece:
Informações úteis imediatas que o enunciado fornece:
- Cada elemento do grupo é um tripla
com , e . - O total de elementos é
. - A pergunta é: para cada
achar sua ordem (o menor tal que ).
Passo 2
Conceito básico numa coordenada (grupo cíclico): para
e um elemento representado por
(
reduzido módulo
), a ordem de
em
é
Explicação rápida e intuitiva: somar
repetidas vezes dá múltiplos de
; queremos o menor
com
. Isso equivale a
. O menor
que funciona é
.
Exemplo concreto: em , para
temos
e
(de fato
e nenhum
ou
serve).
Exemplo concreto: em
Passo 3
Regra para produto direto: se
pertence a
, a ordem de
é o mínimo
tal que
em cada componente, logo é o mínimo
que é simultaneamente múltiplo das ordens das componentes. Portanto
Aplicando ao nosso caso com três componentes:
Passo 4
Vamos listar as ordens possíveis de cada componente e quantos elementos geram cada ordem (útil para contar depois):
- Em
: -
(1 elemento), -
(1 elemento), -
(2 elementos), -
(2 elementos).
-
- Em
: -
(1 elemento), -
(1 elemento), -
(2 elementos).
-
- Em
: -
(1 elemento), -
(1 elemento).
-
Assim, para qualquer
a ordem é
Exemplo de cálculo rápido: para
temos
,
,
, logo
Passo 5
Determinar todos os possíveis valores de ordem e quantas vezes cada um aparece. As ordens das componentes tomam valores em
,
e
; os possíveis
resultantes são
. Agora contamos quantos elementos dão cada ordem fazendo a soma das combinações de ordens das componentes que produzem cada
. Usando as multiplicidades listadas no Passo 4 e enumerando as combinações, obtém-se:
- ordem
: elemento (somente ); - ordem
: elementos; - ordem
: elementos (são e em representantes naturais); - ordem
: elementos; - ordem
: elementos; - ordem
: elementos.
Verificação rápida:
, que é o número total de elementos, então a contagem está consistente.
Resposta
Há
elemento de ordem
,
de ordem
,
de ordem
,
de ordem
,
de ordem
e
de ordem
.