{ }_{6} m \mathbb{Z}_{4} \times \mathbb{Z}_{2} achar a ordem de cada elemento.

Passo 1

O enunciado dá o grupo \mathbb{Z}_{6}\times\mathbb{Z}_{4}\times\mathbb{Z}_{2} e pede: achar a ordem de cada elemento.
Informações úteis imediatas que o enunciado fornece:
  • Cada elemento do grupo é um tripla (a,b,c) com a\in\mathbb{Z}_{6}=\{0,1,2,3,4,5\}, b\in\mathbb{Z}_{4}=\{0,1,2,3\} e c\in\mathbb{Z}_{2}=\{0,1\}.
  • O total de elementos é 6\cdot4\cdot2=48.
  • A pergunta é: para cada (a,b,c) achar sua ordem (o menor m\ge 1 tal que m(a,b,c)=(0,0,0)).

Passo 2

Conceito básico numa coordenada (grupo cíclico): para \mathbb{Z}_{n} e um elemento representado por k ( k reduzido módulo n ), a ordem de k em \mathbb{Z}_{n} é
\text{ord}_{\mathbb{Z}_n}(k)=\frac{n}{\gcd(n,k)}.
Explicação rápida e intuitiva: somar k repetidas vezes dá múltiplos de k; queremos o menor m com m k\equiv 0\pmod n. Isso equivale a n\mid m k. O menor m que funciona é m=n/\gcd(n,k).
Exemplo concreto: em \mathbb{Z}_6, para a=2 temos \gcd(6,2)=2 e \text{ord}(2)=6/2=3 (de fato 3\cdot2\equiv0\pmod6 e nenhum 1 ou 2 serve).

Passo 3

Regra para produto direto: se x=(x_1,x_2,\dots,x_r) pertence a G_1\times\cdots\times G_r, a ordem de x é o mínimo m tal que m x_i=0 em cada componente, logo é o mínimo m que é simultaneamente múltiplo das ordens das componentes. Portanto
\text{ord}(x)=\operatorname{lcm}\big(\text{ord}(x_1),\text{ord}(x_2),\dots,\text{ord}(x_r)\big).
Aplicando ao nosso caso com três componentes:
\text{ord}\big((a,b,c)\big)=\operatorname{lcm}\big(\text{ord}_{\mathbb{Z}_6}(a),\\ \text{ord}_{\mathbb{Z}_4}(b),\\ \text{ord}_{\mathbb{Z}_2}\text{(c)}\big).

Passo 4

Vamos listar as ordens possíveis de cada componente e quantos elementos geram cada ordem (útil para contar depois):
  • Em \mathbb{Z}_6:
    • \text{ord}(0)=1 (1 elemento),
    • \text{ord}(3)=2 (1 elemento),
    • \text{ord}(2)=\text{ord}(4)=3 (2 elementos),
    • \text{ord}(1)=\text{ord}(5)=6 (2 elementos).
  • Em \mathbb{Z}_4:
    • \text{ord}(0)=1 (1 elemento),
    • \text{ord}(2)=2 (1 elemento),
    • \text{ord}(1)=\text{ord}(3)=4 (2 elementos).
  • Em \mathbb{Z}_2:
    • \text{ord}(0)=1 (1 elemento),
    • \text{ord}(1)=2 (1 elemento).
Assim, para qualquer (a,b,c) a ordem é
\text{ord}\big((a,b,c)\big)=\operatorname{lcm}\!\left(\dfrac{6}{\gcd(6,a)},\\ \dfrac{4}{\gcd(4,b)},\\ \dfrac{2}{\gcd(2,c)}\right).
Exemplo de cálculo rápido: para (a,b,c)=(1,1,1) temos \text{ord}_{\mathbb{Z}_6}(1)=6, \text{ord}_{\mathbb{Z}_4}(1)=4, \text{ord}_{\mathbb{Z}_2}(1)=2, logo
\text{ord}((1,1,1))=\operatorname{lcm}(6,4,2)=12.

Passo 5

Determinar todos os possíveis valores de ordem e quantas vezes cada um aparece. As ordens das componentes tomam valores em \{1,2,3,6\}, \{1,2,4\} e \{1,2\}; os possíveis \operatorname{lcm} resultantes são 1,2,3,4,6,12. Agora contamos quantos elementos dão cada ordem fazendo a soma das combinações de ordens das componentes que produzem cada \operatorname{lcm}. Usando as multiplicidades listadas no Passo 4 e enumerando as combinações, obtém-se:
  • ordem 1: 1 elemento (somente (0,0,0));
  • ordem 2: 7 elementos;
  • ordem 3: 2 elementos (são (2,0,0) e (4,0,0) em representantes naturais);
  • ordem 4: 8 elementos;
  • ordem 6: 14 elementos;
  • ordem 12: 16 elementos.
Verificação rápida: 1+7+2+8+14+16=48, que é o número total de elementos, então a contagem está consistente.

Resposta

\displaystyle \text{ord}\big((a,b,c)\big)=\operatorname{lcm}\!\left(\dfrac{6}{\gcd(6,a)},\\ \dfrac{4}{\gcd(4,b)},\\ \dfrac{2}{\gcd(2,c)}\right).
1 elemento de ordem 1, 7 de ordem 2, 2 de ordem 3, 8 de ordem 4, 14 de ordem 6 e 16 de ordem 12.

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