Determine os pontos de máximo ou de mínimo local das seguintes funções.
.
Passo 1
O enunciado dá a função definida em todo o plano e pede que eu determine os pontos de máximo ou mínimo local. Informações claras que o problema fornece:
- A função é
. - O domínio implícito é
(todos os pares ). - A pergunta é: quais pontos são pontos de máximo local ou de mínimo local? (pode haver nenhum, um ou vários).
Passo 2
O primeiro passo para achar extremos locais de uma função de duas variáveis é encontrar os pontos críticos, isto é, os pontos onde o gradiente é zero (ou onde as derivadas parciais não existem, mas aqui existem sempre). Vou calcular as derivadas parciais de
.
Lembrete rápido do que é a derivada parcial: a derivada parcial de
em relação a
, anotada
ou
, é a taxa de variação de
quando apenas
varia e
fica fixo. Mesma ideia para
.
Calculemos
e
. Usando regra do produto/ cadeia (a exponencial é composta pelo expoente
):
Diferenciando em relação a
:
Logo
Analogamente para
:
Passo 3
Pontos críticos são soluções do sistema [;f_x(x,y)=0) e
.
Escrevendo o sistema:
Observe que
(a exponencial de qualquer número real é positiva), portanto o fator exponencial nunca zera. Assim as equações reduzem a:
Portanto existe um único ponto crítico: ((0,0)].
Observação intuitiva: fora da origem o gradiente não é zero (porque pelo menos uma das componentes
ou
não é zero), logo nenhum outro ponto pode ser extremo local.]
Passo 4
Agora é preciso classificar o ponto crítico
: é máximo local, mínimo local ou ponto de sela? Para isso uso a matriz Hessiana (a matriz das segundas derivadas) e o teste das segundas derivadas para funções de duas variáveis.
Explico a ideia do Hessiano de forma simples: a Hessiana é a matriz que reúne as segundas derivadas da função e informa a curvatura local. Para uma função de duas variáveis:
onde
é a segunda derivada em
,
em
, e
a derivada mista. O teste das segundas derivadas diz: se em um ponto crítico
o determinante
é positivo e
então mínimo local; se
e
então máximo local; se
é ponto de sela; se
o teste é inconclusivo.
Vou calcular as segundas derivadas de
. Parto das primeiras derivadas já obtidas:
Derivando novamente:
Calcule
:
Organizando termos:
Calcule
de forma análoga:
Calcule a derivada mista
:
Assim a Hessiana geral é
Passo 5
Agora avalio a Hessiana no ponto crítico
. Substituindo
e
:
Como
,
O determinante do Hessiano em
é
Além disso
. Pelo teste das segundas derivadas, se
e
então
é um ponto de máximo local. Portanto
é um máximo local.
Passo 6
Complemento didático e intuição: a função é radial e decresce quando a distância ao origin aumenta. Em coordenadas polares, com
,
Para
tem-se
, e conforme
cresce
decresce para
quando
. Isso confirma a conclusão:
não é só um máximo local, é o máximo global com valor máximo
.
Sobre mínimos locais: não existe nenhum ponto onde a função atinge um mínimo local estrito. A função tende a
quando
, mas nunca atinge
em
(sempre é positiva). Então o infimum é
, não é atingido, logo não há mínimo global nem mínimo local. Outro argumento simples: qualquer ponto com
tem direções em que
diminui (movendo-se em direção ao origin) e aí
aumenta, e direções em que
aumenta e
diminui; portanto pontos com
não são nem máximos nem mínimos locais. Já o único ponto com gradiente zero é o origin, que foi classificado como máximo.
Passo 7
Resumo e incentivo rápido: concluímos com cálculo direto e com uma intuição geométrica — a exponencial negativa de
tem o pico no centro e decai radialmente. Vai dar certo na prova: calcule gradiente, ache pontos críticos, calcule Hessiana e use o teste. Calma, respira, e repete esse procedimento em outros exercícios que aparecerem.