(4.) Encontre todos os subguerps de \mathbb{Z}_{12} \times \mathbb{Z}_{4}

Passo 1

O enunciado pede: "Encontre todos os subgrupos de \mathbb{Z}_{12}\times\mathbb{Z}_4".
Informações dadas e o que vamos usar (apenas listando, sem resolver ainda):
  • O grupo dado é \mathbb{Z}_{12}\times\mathbb{Z}_4.
  • Vou procurar todos os subgrupos (todos os subconjuntos que são subgrupos sob a operação do grupo).
  • Não há imagem ou dado extra: só esse produto direto.

Passo 2

Primeira ideia útil (ferramenta que vamos usar): decompor \mathbb{Z}_{12} por CRT em componentes primárias. Pelo Teorema Chinês dos Resto,
\mathbb{Z}_{12}\simeq\mathbb{Z}_3\times\mathbb{Z}_4.
Logo
\mathbb{Z}_{12}\times\mathbb{Z}_4\simeq\mathbb{Z}_3\times\mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_4.
Vou usar a isomorfia explícita \varphi:\mathbb{Z}_{12}\times\mathbb{Z}_4\to\mathbb{Z}_3\times\mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_4 dada por
\varphi\bigl(\overline{a}_{12},\overline{b}_4\bigr)=\bigl(\overline{a}_3,\overline{a}_4,\overline{b}_4\bigr),
onde \overline{a}_{12} reduzido módulo 3 e 4 \overline{a}_3 e \overline{a}_4. A inversa prática (para reconstruir coordenada em \mathbb Z_{12}) é: dado (u,v,w)\in\mathbb{Z}_3\times\mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_4, escolhe s\in\{0,1,2\} tal que s\equiv u-v\pmod{3} e define
\varphi^{-1}(u,v,w)=\bigl(\overline{a}_{12},\overline{b}_4\bigr), \qquad \overline{a}_{12}=\overline{v+4s}_{12},\quad \overline{b}_4=\overline{w}_4.
(Isso é só o CRT explícito; não é necessário memorizar, só saber que a decomposição existe e é bijetora.)

Passo 3

Observação estrutural chave (padrão de grupo abeliano finito): subgrupos de um produto direto de componentes de ordem coprima separam-se por primos. Aqui a componente de ordem 3 é um 3-grupo e as duas \mathbb{Z}_4 são 2-grupos. Para qualquer subgrupo H de \mathbb{Z}_3\times\mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_4 vale
H=(H\cap\text{(parte 3)})\times (H\cap\text{(parte 2)}).
Portanto a enumeração de todos os subgrupos reduz-se a:
  • escolher um subgrupo da \mathbb{Z}_3 (parte 3), e
  • escolher um subgrupo da \mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_4 (parte 2),
    e depois formar o produto direto desses dois. Assim, contamos e listamos separadamente.

Passo 4

Subgrupos de \mathbb{Z}_3: são só duas opções (grupo cíclico de ordem prime):
  • \{0\} (o trivial),
  • \mathbb{Z}_3 (o próprio).
    Portanto há 2 escolhas para a parte 3.

Passo 5

Agora vamos listar todos os subgrupos de \mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_4. Trabalho com coordenadas (x,y) com x,y\in\mathbb{Z}_4. Algumas observações rápidas que explico passo a passo:
  • \mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_4 tem 16 elementos no total.
  • Os elementos de ordene divisível por 2 (i.e. de ordem 1 ou 2) são exatamente os com coordenadas em \{0,2\}; esse conjunto é T_2=\{(0,0),(2,0),(0,2),(2,2)\},que é um subgrupo isomorfo a \mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2.
    Deste subgrupo vêm:
    • o subgrupo trivial \{(0,0)\},
    • três subgrupos de ordem 2: \langle(2,0)\rangle, \langle(0,2)\rangle, \langle(2,2)\rangle,
    • o próprio T_2 (uma cópia de \mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2) de ordem 4.
  • Os elementos que não estão todos em \{0,2\} têm ordem 4. Há 16-4=12 tais elementos; cada subgrupo cíclico de ordem 4 tem \varphi(4)=2 geradores, logo existem 12/2=6 subgrupos cíclicos distintos de ordem 4.
Listo explicitamente as subgrupos de \mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_4. Vou introduzir os geradores canônicos e_1=(1,0) e e_2=(0,1). Em termos desses vetores, os subgrupos são:
(a) ordem 1:
H_0=\{(0,0)\}.
(b) ordem 2 (três):
H_{2,1}=\langle(2,0)\rangle,\quad H_{2,2}=\langle(0,2)\rangle,\quad H_{2,3}=\langle(2,2)\rangle.
(c) ordem 4: há duas formas — um único \mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2 e seis cíclicos \mathbb{Z}_4.
  • o \mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2 já dado:
H_{4,\text{Klein}}=T_2=\langle(2,0),(0,2)\rangle=\{(0,0),(2,0),(0,2),(2,2)\}.
  • os seis subgrupos cíclicos de ordem 4. Posso escolher representantes de geradores (cada par gerador/inverso dá o mesmo subgrupo). Um conjunto de representantes convenientemente escolhido é:
\langle(1,0)\rangle,\\ \langle(0,1)\rangle,\\ \langle(1,1)\rangle,\\ \langle(1,2)\rangle,\\ \langle(2,1)\rangle,\\ \langle(1,3)\rangle.
Cada um desses é um subgrupo de ordem 4.
(d) ordem 8 (índice 2 em \mathbb Z_4\times\mathbb Z_4): são exatamente os núcleos das três aplicações lineares não nulas para \mathbb{Z}_2 (reduções mod 2 nas coordenadas e sua soma). Explicitamente há três subgrupos de ordem 8; descrições convenientes:
\begin{aligned} K_1&=\{(x,y): x\text{ é par}\}=\langle(2,0),(0,1)\rangle,\\\ K_2&=\{(x,y): y\text{ é par}\}=\langle(1,0),(0,2)\rangle,\\\ K_3&=\{(x,y): x+y\text{ é par}\}=\langle(1,1),(2,0)\rangle. \end{aligned}ééé
Cada K_i tem 8 elementos e é isomorfo a \mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_2.
(e) ordem 16:
H_{\text{total}}=\mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_4.
Resumo: contando, temos 1 (trivial) + 3 (ordem 2) + 1 (Klein-4) + 6 (cíclicos de ordem 4) + 3 (ordem 8) + 1 (total) =15 subgrupos no total em \mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_4. Eu listei-os explicitamente acima (cada subgrupo é dado por seus geradores).

Passo 6

Agora voltar ao grupo original usando a isomorfia \varphi. Cada subgrupo de \mathbb{Z}_{12}\times\mathbb{Z}_4 corresponde bijetivamente por \varphi a um subgrupo de \mathbb{Z}_3\times\mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_4, e por separação em primos esse subgrupo é exatamente S_3\times S_2 onde S_3\in\{\{0\},\mathbb{Z}_3\} e S_2 é um dos 15 subgrupos listados de \mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_4. Portanto, para cada um dos 15 subgrupos S_2 de \mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_4 existem exatamente duas escolhas para a parte 3, gerando 15\times 2=30 subgrupos distintos no total. Cada um desses subgrupos pode ser descrito explicitamente em coordenadas de \mathbb{Z}_{12}\times\mathbb{Z}_4 aplicando \varphi^{-1} aos geradores listados acima (a fórmula prática para \varphi^{-1} foi dada no Passo 2).
Exemplo de como se obtém um subgrupo concreto em \mathbb{Z}_{12}\times\mathbb{Z}_4: pegue o subgrupo H=\langle(1,0)\rangle em \mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_4. Como elemento gerador em \mathbb{Z}_3\times\mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_4 corresponde a (0,1,0). Aplicando \varphi^{-1} obtemos em \mathbb Z_{12}\times\mathbb Z_4 o gerador \bigl(\overline{1}_{12},\overline{0}_4\bigr) (verificando pelo CRT: reduce 1 mod 4 e 1 mod 3 etc.). Repetindo para cada gerador da lista anterior obtém-se explicitamente todos os subgrupos como subgrupos gerados por pares (ou um elemento) em \mathbb{Z}_{12}\times\mathbb{Z}_4.

Passo 7

Conclusão organizada (como apresentar numa prova): todos os subgrupos de \mathbb{Z}_{12}\times\mathbb{Z}_4 são exatamente os subgrupos da forma
S_3\times S_2\subseteq\mathbb{Z}_3\times\mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_4,
transportados por \varphi^{-1} para \mathbb{Z}_{12}\times\mathbb{Z}_4, onde S_3\in\{\{0\},\mathbb{Z}_3\} e S_2 é um dos 15 subgrupos listados no Passo 5. Portanto há 30 subgrupos no total, e eles estão todos descritos explicitamente pelos geradores dados para S_2 combinados com a escolha de S_3. Se for necessário, cada um desses 30 pode ser escrito em coordenadas \bigl(\overline{a}_{12},\overline{b}_4\bigr) aplicando a fórmula de \varphi^{-1}.

Resposta

Os subgrupos de \mathbb{Z}_{12}\times\mathbb{Z}_4 são exatamente os 30 subgrupos obtidos por puxar pela isomorfia \varphi os subgrupos
S_3\times S_2\subseteq\mathbb{Z}_3\times\mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_4,
onde S_3\in\{\{0\},\mathbb{Z}_3\} e S_2 é um dos quinze subgrupos de \mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_4 abaixo:
\begin{gathered} \{(0,0)\};\\\ \langle(2,0)\rangle,\\ \langle(0,2)\rangle,\\ \langle(2,2)\rangle;\\\ \langle(2,0),(0,2)\rangle\\ (\text{Klein-4});\\\ \langle(1,0)\rangle,\\ \langle(0,1)\rangle,\\ \langle(1,1)\rangle,\\ \langle(1,2)\rangle,\\ \langle(2,1)\rangle,\\ \langle(1,3)\rangle\\ (\text{seis cíclicos ordem }4);\\\ \langle(2,0),(0,1)\rangle,\\ \langle(1,0),(0,2)\rangle,\\ \langle(1,1),(2,0)\rangle\\ (\text{três de ordem }8);\\\ \mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_4. \end{gathered}íê
Cada um desses 15 fornece dois subgrupos em \mathbb{Z}_{12}\times\mathbb{Z}_4 ao tomar produto com \{0\} ou com \mathbb{Z}_3, perfazendo 15\times2=30 subgrupos no total.

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