Achar valor de
e
para que it seja continues en -2 e 0
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores de $ A $ e $ B $ para que a função $ f(x) $ seja contínua nos pontos $ x = -2 $ e $ x = 0 $. Isso envolve entender um pouco sobre continuidade de funções e como igualar os valores das partes da função nos pontos de transição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa a função ser contínua em um ponto. Basicamente, para $ f(x) $ ser contínua em $ x = c $, o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de $ c $ pela esquerda deve ser igual ao limite pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor de $ f© $. Ou seja:
Vamos aplicar isso nos pontos $ x = -2 $ e $ x = 0 $.
Passo 3
Começando por $ x = -2 $. A função é definida por duas expressões diferentes perto desse ponto:
- Para $ x \leq -2 $: $ f(x) = 2x + A $
- Para $ -2 < x < 0 $: $ f(x) = \ln |x + 1| $
Vamos calcular os limites pelas duas laterais.
Passo 4
Calculando o limite quando $ x $ se aproxima de $ -2 $ pela esquerda ($ x \to -2^- $):
Agora, o limite quando $ x $ se aproxima de $ -2 $ pela direita ($ x \to -2^+ $):
Passo 5
Para a função ser contínua em $ x = -2 $, esses dois limites devem ser iguais. Então:
Resolvendo para $ A $:
Passo 6
Agora, vamos analisar a continuidade em $ x = 0 $. As expressões que definem $ f(x) $ perto desse ponto são:
- Para $ -2 < x < 0 $: $ f(x) = \ln |x + 1| $
- Para $ x \geq 0 $: $ f(x) = e^{x} - B $
Vamos calcular os limites pelas duas laterais.
Passo 7
Calculando o limite quando $ x $ se aproxima de $ 0 $ pela esquerda ($ x \to 0^- $):
Agora, o limite quando $ x $ se aproxima de $ 0 $ pela direita ($ x \to 0^+ $):
Passo 8
Para a função ser contínua em $ x = 0 $, esses dois limites devem ser iguais. Então:
Resolvendo para $ B $:
Resposta
Os valores que tornam a função contínua são $ A = 4 $ e $ B = 1 $.