Achar o valor de c para que a igualdade das seguintes séries seja satisfeita
2.) \quad \sum_{n=2}{\infty}(1+c){-n}=2

Passo 1

O enunciado pede: achar o valor de c tal que a igualdade
\sum_{n=2}^{\infty}(1+c)^{-n}=2
seja satisfeita. Informações dadas:
  • A série é \displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}(1+c)^{-n}.
  • A incógnita é c.
  • A igualdade exige que a série convirja e seu somatório valha 2.

Passo 2

Identificar a forma da série e a fórmula que vamos usar.
Observação direta sobre cada termo:
(1+c)^{-n}=\left(\frac{1}{1+c}\right)^n.
Então a série é uma série geométrica de termos gerais \left(\dfrac{1}{1+c}\right)^n.
Lembrete (fórmula e demonstração curta) — soma de uma série geométrica:
  • Se |r|<1, então
\sum_{n=0}^{\infty} r^n=\frac{1}{1-r}.
Demonstração rápida: seja S=1+r+r^2+\cdots. Então rS=r+r^2+\cdots. Subtraindo, S-rS=1\Rightarrow S(1-r)=1\Rightarrow S=1/(1-r).
  • Para uma soma que começa em n=2, tem-se
\sum_{n=2}^{\infty} r^n = \frac{r^2}{1-r},
desde que |r|<1. Aqui r=\dfrac{1}{1+c}.

Passo 3

Escrever a igualdade usando r=\dfrac{1}{1+c} e montar a equação a resolver.
Substituindo na soma:
\frac{r^2}{1-r}=2.
Multiplicando ambos os lados por 1-r:
r^2 = 2(1-r).
Desenvolvendo:
r^2 = 2 - 2r.
Reorganizando em forma de polinômio:
r^2 + 2r - 2 = 0.
Resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
r = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4\cdot 1\cdot (-2)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4+8}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2}.
Simplificando \sqrt{12}=2\sqrt{3}:
r = -1 \pm \sqrt{3}.

Passo 4

Escolher a raiz que satisfaz a condição de convergência |r|<1 e voltar a c.
As duas soluções são r_1 = -1 + \sqrt{3} e r_2 = -1 - \sqrt{3}.
  • Numericamente, \sqrt{3}\approx 1,732, então r_1\approx 0,732 e r_2\approx -2,732.
  • A condição de convergência exige |r|<1, portanto descartamos r_2 (pois |r_2|>1) e mantemos r=r_1=-1+\sqrt{3}.
Agora relacionamos r e c:
r=\frac{1}{1+c}\quad\Rightarrow\quad 1+c=\frac{1}{r}\quad\Rightarrow\quad c=\frac{1}{r}-1.
Substituindo r=\sqrt{3}-1:
\frac{1}{r}=\frac{1}{\sqrt{3}-1}.
Racionalizando o denominador:
\frac{1}{\sqrt{3}-1}=\frac{\sqrt{3}+1}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}=\frac{\sqrt{3}+1}{3-1}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}.
Portanto
1+c=\frac{\sqrt{3}+1}{2}\quad\Rightarrow\quad c=\frac{\sqrt{3}+1}{2}-1=\frac{\sqrt{3}-1}{2}.
Também verificamos a condição |r|<1 em termos de c: como 1+c=\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}\approx 1,366>1, então |r|=|1/(1+c)|<1 está satisfeita.

Resposta

\displaystyle c=\frac{\sqrt{3}-1}{2}

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