Achar o valor de
para que a igualdade das seguintes séries seja satisfeita
2.) \quad \sum_{n=2}{\infty}(1+c){-n}=2
2.) \quad \sum_{n=2}{\infty}(1+c){-n}=2
Passo 1
O enunciado pede: achar o valor de
tal que a igualdade
seja satisfeita. Informações dadas:
- A série é
. - A incógnita é
. - A igualdade exige que a série convirja e seu somatório valha
.
Passo 2
Identificar a forma da série e a fórmula que vamos usar.
Observação direta sobre cada termo:
Então a série é uma série geométrica de termos gerais
.
Lembrete (fórmula e demonstração curta) — soma de uma série geométrica:
- Se
, então
Demonstração rápida: seja
. Então
. Subtraindo,
.
- Para uma soma que começa em
, tem-se
desde que
. Aqui
.
Passo 3
Escrever a igualdade usando
e montar a equação a resolver.
Substituindo na soma:
Multiplicando ambos os lados por
:
Desenvolvendo:
Reorganizando em forma de polinômio:
Resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Simplificando
:
Passo 4
Escolher a raiz que satisfaz a condição de convergência
e voltar a
.
As duas soluções são
e
.
- Numericamente,
, então e . - A condição de convergência exige
, portanto descartamos (pois ) e mantemos .
Agora relacionamos
e
:
Substituindo
:
Racionalizando o denominador:
Portanto
Também verificamos a condição
em termos de
: como
, então
está satisfeita.