Achar o valor de
para que a igualdade das seguintes séries seja satisfeita
1.) \sum_{k=1}^{\infty}(2 c)^{k-1}=2
1.) \sum_{k=1}^{\infty}(2 c)^{k-1}=2
Passo 1
O enunciado dá a série infinita
O que é pedido: encontrar o valor de
que torna essa igualdade verdadeira.
Informações relevantes fornecidas:
- A soma é uma série geométrica escrita com termo geral
. - A incógnita é
. - Para somar uma série geométrica infinita é necessário que ela convirja (há uma condição sobre
que devemos verificar).
Passo 2
Lembrete e demonstração da fórmula da soma da série geométrica infinita (aula rápida):
Considere a série geométrica infinita
Considere a série geométrica infinita
Defina a soma parcial de
termos
A soma finita tem a fórmula conhecida (derivação curta): multiplica-se por
e subtrai-se
portanto
Se
, então
quando
. Assim a série infinita converge e sua soma é
Se
a série não converge (logo não tem soma finita).
Passo 3
Aplicando isso ao nosso caso: faça a troca de índice
. Então
Aqui o parâmetro da série geométrica é
. Pela fórmula do passo anterior, a soma existe e vale
desde que a condição de convergência seja satisfeita:
Passo 4
Agora imponha a igualdade dada no enunciado:
Resolver essa equação para
. Multiplicando ambos os lados por
(assumindo
):
Desenvolvendo o lado direito:
Isolando
:
Passo 5
Verificação da condição de convergência: para
temos
logo a série de fato converge e a manipulação é válida. Não há outras soluções porque a equação resultou em uma única solução e a condição de convergência não exclui essa solução.