Achar o valor de c para que a igualdade das seguintes séries seja satisfeita
1.) \sum_{k=1}^{\infty}(2 c)^{k-1}=2

Passo 1

O enunciado dá a série infinita
\sum_{k=1}^{\infty}(2c)^{k-1}=2
O que é pedido: encontrar o valor de c que torna essa igualdade verdadeira.
Informações relevantes fornecidas:
  • A soma é uma série geométrica escrita com termo geral (2c)^{k-1}.
  • A incógnita é c.
  • Para somar uma série geométrica infinita é necessário que ela convirja (há uma condição sobre c que devemos verificar).

Passo 2

Lembrete e demonstração da fórmula da soma da série geométrica infinita (aula rápida):
Considere a série geométrica infinita
\sum_{n=0}^{\infty} r^{n}.
Defina a soma parcial de N+1 termos
S_N=\sum_{n=0}^{N} r^{n}=1+r+r^{2}+\cdots+r^{N}.
A soma finita tem a fórmula conhecida (derivação curta): multiplica-se por r e subtrai-se
r S_N = r + r^{2} + \cdots + r^{N+1},
S_N - rS_N = 1 - r^{N+1},
portanto
S_N=\frac{1-r^{N+1}}{1-r}\quad\text{se }r\neq 1.
Se |r|<1, então r^{N+1}\to 0 quando N\to\infty. Assim a série infinita converge e sua soma é
\sum_{n=0}^{\infty} r^{n}=\lim_{N\to\infty}S_N=\frac{1}{1-r}\quad\text{desde que }\lvert r\rvert<1.
Se \lvert r\rvert\ge 1 a série não converge (logo não tem soma finita).

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso: faça a troca de índice n=k-1. Então
\sum_{k=1}^{\infty}(2c)^{k-1}=\sum_{n=0}^{\infty}(2c)^{n}.
Aqui o parâmetro da série geométrica é r=2c. Pela fórmula do passo anterior, a soma existe e vale
\sum_{n=0}^{\infty}(2c)^{n}=\frac{1}{1-2c}
desde que a condição de convergência seja satisfeita:
\lvert 2c\rvert<1\quad\Longleftrightarrow\quad \lvert c\rvert<\tfrac{1}{2}.

Passo 4

Agora imponha a igualdade dada no enunciado:
\frac{1}{1-2c}=2.
Resolver essa equação para c. Multiplicando ambos os lados por 1-2c (assumindo 1-2c\neq 0):
1=2(1-2c).
Desenvolvendo o lado direito:
1=2-4c.
Isolando c:
4c=2-1=1,
c=\frac{1}{4}.

Passo 5

Verificação da condição de convergência: para c=\tfrac{1}{4} temos
\lvert 2c\rvert = 2\cdot\left\lvert \tfrac{1}{4}\right\rvert = \tfrac{1}{2}<1,
logo a série de fato converge e a manipulação é válida. Não há outras soluções porque a equação resultou em uma única solução e a condição de convergência não exclui essa solução.

Resposta

\displaystyle c=\tfrac{1}{4}

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