Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
18.)
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{n(n+3)}
18.)
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{n(n+3)}
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge; se converge, calcular o valor da soma. Informação dada: termos gerais da série são
para
.
Passo 2
Ideia de resolução (explicação didática): uma técnica muito eficiente para séries com frações racionais em
é decompor o termo em frações simples (partial fractions). Isso transforma cada
numa soma de termos mais simples que podem se cancelar quando somados (série telescópica). Vou mostrar passo a passo como fazer a decomposição.
Procuramos constantes
e
tais que
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade
Isso é um polinômio em
; igualando coeficientes, o coeficiente de
dá
e o termo constante dá
Daqui
e portanto
. Conclusão da decomposição:
Passo 3
Substituindo na série, temos
Agora vou construir a soma parcial
e mostrar o efeito telescópico (cancelamentos).
Escrevendo os primeiros termos:
Passo 4
Observando os cancelamentos: os termos
serão cancelados pelos
que aparecem nas parcelas com índice maior. O que sobra após as cancelacões é apenas:
Este é um passo padrão em séries telescópicas: escrever a soma parcial e observar quais termos não têm parceiro para cancelar.
Passo 5
Agora tomamos o limite quando
. Notando que
segue
Somando esses números:
Portanto a série converge e sua soma é
.
Passo 6
Resumo e incentivo rápido: aplicando decomposição em frações simples e observando o cancelamento telescópico chegamos facilmente ao resultado. Você já consegue usar esse mesmo procedimento para séries do tipo
— a ideia é sempre decompor e somar as parcelas restantes.
Resposta
Converge e