Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
18.)
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{n(n+3)}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{n(n+3)}
converge ou diverge; se converge, calcular o valor da soma. Informação dada: termos gerais da série são a_n=\dfrac{3}{n(n+3)} para n=1,2,\dots.

Passo 2

Ideia de resolução (explicação didática): uma técnica muito eficiente para séries com frações racionais em n é decompor o termo em frações simples (partial fractions). Isso transforma cada a_n numa soma de termos mais simples que podem se cancelar quando somados (série telescópica). Vou mostrar passo a passo como fazer a decomposição.
Procuramos constantes A e B tais que
\frac{3}{n(n+3)}=\frac{A}{n}+\frac{B}{n+3}.
Multiplicando ambos os lados por n(n+3) obtemos a identidade
3 = A(n+3)+Bn.
Isso é um polinômio em n; igualando coeficientes, o coeficiente de n
A+B=0,
e o termo constante dá
3A=3.
Daqui A=1 e portanto B=-1. Conclusão da decomposição:
\frac{3}{n(n+3)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+3}.

Passo 3

Substituindo na série, temos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{n(n+3)}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+3}\right).
Agora vou construir a soma parcial S_N=\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+3}\right) e mostrar o efeito telescópico (cancelamentos).
Escrevendo os primeiros termos:
\begin{aligned} S_N &= \left(\frac{1}{1}-\frac{1}{4}\right) +\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{5}\right) +\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{6}\right) +\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{7}\right) +\cdots +\left(\frac{1}{N}-\frac{1}{N+3}\right). \end{aligned}

Passo 4

Observando os cancelamentos: os termos -\frac{1}{4}, -\frac{1}{5}, -\frac{1}{6},\dots,-\frac{1}{N} serão cancelados pelos \frac{1}{4},\frac{1}{5},\frac{1}{6},\dots,\frac{1}{N} que aparecem nas parcelas com índice maior. O que sobra após as cancelacões é apenas:
S_N = \frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3} -\left(\frac{1}{N+1}+\frac{1}{N+2}+\frac{1}{N+3}\right).
Este é um passo padrão em séries telescópicas: escrever a soma parcial e observar quais termos não têm parceiro para cancelar.

Passo 5

Agora tomamos o limite quando N\to\infty. Notando que
\lim_{N\to\infty}\frac{1}{N+1}=\lim_{N\to\infty}\frac{1}{N+2}=\lim_{N\to\infty}\frac{1}{N+3}=0,
segue
\lim_{N\to\infty}S_N=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}.
Somando esses números:
1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{6}{6}+\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{11}{6}.
Portanto a série converge e sua soma é \dfrac{11}{6}.

Passo 6

Resumo e incentivo rápido: aplicando decomposição em frações simples e observando o cancelamento telescópico chegamos facilmente ao resultado. Você já consegue usar esse mesmo procedimento para séries do tipo \sum \frac{\text{const}}{n(n+k)} — a ideia é sempre decompor e somar as parcelas restantes.

Resposta

Converge e \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{n(n+3)}=\frac{11}{6}

Exercícios relacionados