Determine se as seguintes séries convergem ou divergem.
1.)
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}+4}

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede. Foi dada a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}+4}
A pergunta é: essa série converge ou diverge?
Informações úteis extraídas do enunciado:
  • O termo geral é a_n=\dfrac{1}{n^{2}+4}.
  • Para todo n\ge 1 temos a_n>0 (os termos são positivos).
  • O denominador é da ordem de n^{2} quando n é grande (isso sugere comparar com uma série do tipo 1/n^{p}).

Passo 2

Apresento um teste que vamos usar (explicado de forma simples): o teste da comparação direta com uma p-série.
  • Definição/teorema (p-série): a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}
converge se, e somente se, p>1. Em particular, a série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{2}} converge porque p=2>1.
  • Teste da comparação direta (forma prática): se 0\le a_n\le b_n para todo n suficientemente grande e \sum b_n converge, então \sum a_n também converge. Intuição: somar coisas menores que uma soma finita dá algo finito.
Vou explicar rapidinho por que a p-série com p=2 converge sem entrar em provas técnicas: é um resultado clássico (p-série) normalmente demonstrado por comparação com uma integral ou por decomposição em blocos; o importante aqui é que esse caso p=2 é conhecido como convergente.

Passo 3

Comparação direta entre os termos. Note que, para todo n\ge 1,
n^{2}+4 > n^{2}.
Como o denominador de a_n é maior que n^{2}, o recíproco é menor:
0 < \frac{1}{n^{2}+4} < \frac{1}{n^{2}}.
Portanto, tomando a_n=\dfrac{1}{n^{2}+4} e b_n=\dfrac{1}{n^{2}}, temos 0\le a_n\le b_n para todo n.

Passo 4

Aplicando o teste da comparação direta: sabemos que \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{2}} converge (p-série com p=2). Como 0\le \dfrac{1}{n^{2}+4}\le \dfrac{1}{n^{2}}, a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}+4}
também converge. Esse é um argumento direto, simples e suficiente.

Passo 5

(Comentário pedagógico — alternativa útil em prova) Outra via que às vezes é pedida: o teste da comparação limite (limit comparison). Se calcularmos
\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{1}{n^{2}+4}}{\dfrac{1}{n^{2}}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}}{n^{2}+4}
dividindo numerador e denominador por n^{2} obtemos
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+\tfrac{4}{n^{2}}}=1.
Como esse limite é um número finito e estritamente positivo ( 1), as duas séries têm o mesmo comportamento: como \sum 1/n^{2} converge, a nossa também converge. Esse método é especialmente prático quando as séries têm o mesmo grau assintótico.

Passo 6

Conclusão final e observação extra: a série converge. Como os termos são positivos, trata-se de convergência simples (e também converge absolutamente, já que não há sinais alternados).

Resposta

Converge.

Exercícios relacionados