Determine se as seguintes séries convergem ou divergem.
1.)
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}+4}
1.)
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}+4}
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede. Foi dada a série
A pergunta é: essa série converge ou diverge?
Informações úteis extraídas do enunciado:
Informações úteis extraídas do enunciado:
- O termo geral é
. - Para todo
temos (os termos são positivos). - O denominador é da ordem de
quando é grande (isso sugere comparar com uma série do tipo ).
Passo 2
Apresento um teste que vamos usar (explicado de forma simples): o teste da comparação direta com uma p-série.
- Definição/teorema (p-série): a série
converge se, e somente se,
. Em particular, a série
converge porque
.
- Teste da comparação direta (forma prática): se
para todo suficientemente grande e converge, então também converge. Intuição: somar coisas menores que uma soma finita dá algo finito.
Vou explicar rapidinho por que a p-série com
converge sem entrar em provas técnicas: é um resultado clássico (p-série) normalmente demonstrado por comparação com uma integral ou por decomposição em blocos; o importante aqui é que esse caso
é conhecido como convergente.
Passo 3
Comparação direta entre os termos. Note que, para todo
,
Como o denominador de
é maior que
, o recíproco é menor:
Portanto, tomando
e
, temos
para todo
.
Passo 4
Aplicando o teste da comparação direta: sabemos que
converge (p-série com
). Como
, a série
também converge. Esse é um argumento direto, simples e suficiente.
Passo 5
(Comentário pedagógico — alternativa útil em prova) Outra via que às vezes é pedida: o teste da comparação limite (limit comparison). Se calcularmos
dividindo numerador e denominador por
obtemos
Como esse limite é um número finito e estritamente positivo (
), as duas séries têm o mesmo comportamento: como
converge, a nossa também converge. Esse método é especialmente prático quando as séries têm o mesmo grau assintótico.
Passo 6
Conclusão final e observação extra: a série converge. Como os termos são positivos, trata-se de convergência simples (e também converge absolutamente, já que não há sinais alternados).
Resposta
Converge.