Achar o valor de c para que a igualdade das seguintes séries seja satisfeita
\sum_{k=1}^{\infty}(2 c)^{k-1}=2
\sum_{n=2}^{\infty}(1+c)^{-n}=2

Passo 1

O enunciado pede para achar o (s) valor (es) de c que tornam iguais a 2 duas somas infinitas. Ambas são séries geométricas, mas com índices e razões diferentes:
  1. \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}(2c)^{k-1}=2.
  2. \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}(1+c)^{-n}=2.

Passo 2

Analisando a primeira série, note que é geométrica com primeiro termo
\displaystyle a_{1}=(2c)^{1-1}=(2c)^0=1
e razão
\displaystyle r=2c.
A soma de uma série geométrica infinita é
\frac{a_{1}}{1-r}
desde que \lvert r\rvert<1. Então impomos
\frac{1}{1-2c}=2, \quad \lvert 2c\rvert<1.

Passo 3

Resolvendo
\frac{1}{1-2c}=2 \;\Longrightarrow\; 1=2(1-2c) \;\Longrightarrow\; 1=2-4c \;\Longrightarrow\; 4c=1 \;\Longrightarrow\; c=\tfrac14.
E \lvert2c\rvert=\tfrac12<1 satisfaz a condição de convergência.

Passo 4

Na segunda série, o termo geral é
\displaystyle a_{n}=(1+c)^{-n}
com índice n começando em 2. Esta é também geométrica, com primeiro termo
\displaystyle a_{2}=(1+c)^{-2}
e razão
\displaystyle r=(1+c)^{-1}.
A soma a partir de n=2 é
\frac{a_{2}}{1-r} = \frac{(1+c)^{-2}}{1-(1+c)^{-1}} = \frac{(1+c)^{-2}}{\frac{1+c-1}{1+c}} = \frac{(1+c)^{-2}\,(1+c)}{c} = \frac{1}{c(1+c)}.
Impondo essa soma igual a 2 e a condição de convergência \lvert r\rvert<1\Longleftrightarrow\lvert1+c\rvert>1, temos
\frac{1}{c(1+c)}=2, \quad \lvert1+c\rvert>1.

Passo 5

A equação
\frac{1}{c(1+c)}=2
vira
c(1+c)=\tfrac12 \;\Longrightarrow\; c^2+c-\tfrac12=0 \;\Longrightarrow\; c=\frac{-1\pm\sqrt{1+2}}{2} =\frac{-1\pm\sqrt3}{2}.
Dos dois valores, verifica-se que só
c=\frac{-1+\sqrt3}{2}
satisfaz \lvert1+c\rvert>1.

Resposta

Para a primeira série: c=\tfrac14.
Para a segunda série: c=\tfrac{-1+\sqrt3}{2}.

Exercícios relacionados