Achar o valor de
para que a igualdade das seguintes séries seja satisfeita
Passo 1
O enunciado pede para achar o (s) valor (es) de
que tornam iguais a 2 duas somas infinitas. Ambas são séries geométricas, mas com índices e razões diferentes:
-
. -
.
Passo 2
Analisando a primeira série, note que é geométrica com primeiro termo
e razão
.
A soma de uma série geométrica infinita é
e razão
A soma de uma série geométrica infinita é
desde que
. Então impomos
Passo 3
Resolvendo
E
satisfaz a condição de convergência.
Passo 4
Na segunda série, o termo geral é
com índice começando em 2. Esta é também geométrica, com primeiro termo
e razão
.
A soma a partir de é
com índice
e razão
A soma a partir de
Impondo essa soma igual a 2 e a condição de convergência
, temos
Passo 5
A equação
vira
Dos dois valores, verifica-se que só
satisfaz
.
Resposta
Para a primeira série:
.
Para a segunda série: .
Para a segunda série: