Fazer o indicado em cada item:
O valor do \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n}\left(\frac{k}{n^{2}}-\frac{k^{2}}{n^{3}}\right) é:

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\Bigl(\frac{k}{n^{2}}-\frac{k^{2}}{n^{3}}\Bigr).
O conteúdo envolve somas de potências de inteiros e cálculo de limite. Vamos usar as fórmulas clássicas \sum_{k=1}^{n}k=\tfrac{n(n+1)}{2} e \sum_{k=1}^{n}k^{2}=\tfrac{n(n+1)(2n+1)}{6},
além de propriedades de limite.

Passo 2

Separamos a soma em duas partes:
\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{n^{2}} \;-\; \sum_{k=1}^{n}\frac{k^{2}}{n^{3}}.

Passo 3

Usando as fórmulas:
\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{n^{2}} =\frac{1}{n^{2}}\cdot\frac{n(n+1)}{2} =\frac{n(n+1)}{2n^{2}} =\frac{n+1}{2n} =\frac12+\frac{1}{2n},
\sum_{k=1}^{n}\frac{k^{2}}{n^{3}} =\frac{1}{n^{3}}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} =\frac{2n^{3}+3n^{2}+n}{6n^{3}} =\frac13+\frac{1}{2n}+\frac{1}{6n^{2}}.
Subtraindo, obtemos
\frac12+\frac{1}{2n} \;-\;\Bigl(\frac13+\frac{1}{2n}+\frac{1}{6n^{2}}\Bigr) =\frac12-\frac13-\frac{1}{6n^{2}} =\frac{1}{6}-\frac{1}{6n^{2}}.

Passo 4

Agora basta tomar o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\Bigl(\frac{1}{6}-\frac{1}{6n^{2}}\Bigr) =\frac{1}{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{6}

Exercícios relacionados