Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n+3}-3^{4+n}}{5^{n-2}}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n+3}-3^{n+4}}{5^{n-2}}
e pede para decidir se ela converge ou diverge. Se converge, precisamos calcular o valor da soma. O conteúdo principal aqui é reconhecer séries geométricas e aplicar o critério de convergência para |r|<1 e a fórmula da soma
\sum_{n=1}^{\infty}r^n=\frac{r}{1-r}.

Passo 2

Vamos simplificar o termo geral:
\frac{2^{n+3}-3^{n+4}}{5^{n-2}} = \frac{2^3\cdot2^n}{5^{n-2}} \;-\;\frac{3^4\cdot3^n}{5^{n-2}} =8\cdot\frac{2^n}{5^{n-2}} \;-\;81\cdot\frac{3^n}{5^{n-2}}.
Como 5^{n-2}=5^n/5^2, temos
8\cdot\frac{2^n}{5^{n-2}} =8\cdot 5^2\cdot\frac{2^n}{5^n} =200\Bigl(\frac{2}{5}\Bigr)^n,
81\cdot\frac{3^n}{5^{n-2}} =81\cdot 5^2\cdot\frac{3^n}{5^n} =2025\Bigl(\frac{3}{5}\Bigr)^n.
Logo a série original pode ser escrita como
\sum_{n=1}^{\infty}\biggl[200\Bigl(\frac{2}{5}\Bigr)^n \;-\;2025\Bigl(\frac{3}{5}\Bigr)^n\biggr].

Passo 3

Cada parte é uma série geométrica separada:
\sum_{n=1}^{\infty}200\Bigl(\frac{2}{5}\Bigr)^n \quad\text{e}\quad \sum_{n=1}^{\infty}2025\Bigl(\frac{3}{5}\Bigr)^n.
Como \bigl|\tfrac{2}{5}\bigr|<1 e \bigl|\tfrac{3}{5}\bigr|<1, ambas convergem pelo critério de série geométrica.

Passo 4

Aplicando a fórmula \sum_{n=1}^{\infty}r^n=\tfrac{r}{1-r}, temos
\sum_{n=1}^{\infty}200\Bigl(\tfrac{2}{5}\Bigr)^n =200\cdot\frac{\tfrac{2}{5}}{1-\tfrac{2}{5}} =200\cdot\frac{\tfrac{2}{5}}{\tfrac{3}{5}} =200\cdot\frac{2}{3} =\frac{400}{3},
\sum_{n=1}^{\infty}2025\Bigl(\tfrac{3}{5}\Bigr)^n =2025\cdot\frac{\tfrac{3}{5}}{1-\tfrac{3}{5}} =2025\cdot\frac{\tfrac{3}{5}}{\tfrac{2}{5}} =2025\cdot\frac{3}{2} =\frac{6075}{2}.

Passo 5

A soma total da série é a diferença das duas parcelas:
\frac{400}{3}\;-\;\frac{6075}{2} =\frac{800-18225}{6} =-\frac{17425}{6}.
Portanto, a série converge.

Resposta

A série converge e
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n+3}-3^{n+4}}{5^{n-2}} =-\frac{17425}{6}.

Exercícios relacionados