Determine se as seguintes séries convergem ou divergem.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n} \ln (n)}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}\,\ln(n)}.
O conteúdo principal aqui é o teste da integral (e podemos opcionalmente usar o teste da condensação de Cauchy) para séries de termos positivos. Para aplicar o teste da integral, precisamos de uma função f(x) contínua, positiva e decrescente em [N,\infty) tal que f(n)=a_n.

Passo 2

Primeiro notamos que \ln(1)=0, então a série só faz sentido a partir de n=2. Definimos
a_n = \frac{1}{\sqrt{n}\,\ln(n)},
e consideramos a função
f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}\,\ln(x)},\quad x\ge2.
Para x\ge2, temos f(x)>0 e, derivando, vê-se facilmente que f'(x)<0, ou seja, f é decrescente a partir de 2. Logo podemos aplicar o teste da integral.

Passo 3

Estudamos a integral imprópria
\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x}\,\ln(x)}.
Fazendo a substituição x=t^2, temos dx=2t\,dt e \sqrt{x}=t, portanto
\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x}\,\ln(x)} =\int_{\sqrt{2}}^{\infty}\frac{2t\,dt}{t\,\ln(t^2)} =\int_{\sqrt{2}}^{\infty}\frac{2\,dt}{2\,\ln(t)} =\int_{\sqrt{2}}^{\infty}\frac{dt}{\ln(t)}.
Para t\ge2 vale \ln(t)\le t, logo
\frac{1}{\ln(t)}\;\ge\;\frac{1}{t},
e assim
\int_{\sqrt{2}}^{\infty}\frac{dt}{\ln(t)} \;\ge\;\int_{\sqrt{2}}^{\infty}\frac{dt}{t} =\Bigl[\ln(t)\Bigr]_{\sqrt{2}}^{\infty} =\infty.
Como a integral diverge, o teste da integral nos diz que a série \sum a_n também diverge.

Passo 4

Opcionalmente, pelo teste da condensação de Cauchy, definimos
b_k = 2^k\,a_{2^k} =2^k\;\frac{1}{\sqrt{2^k}\,\ln(2^k)} =\frac{2^k}{2^{k/2}\,(k\ln2)} =\frac{2^{\,k/2}}{k\,\ln2}.
Como a sequência 2^{k/2}/k cresce geometricamente (razão entre termos sucessivos tende a \sqrt2>1), a série \sum b_k diverge. Pelo teste de condensação, \sum a_n diverge.

Resposta

A série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}\,\ln(n)}
diverge.

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