Determine se as seguintes séries convergem ou divergem.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
O conteúdo principal aqui é o teste da integral (e podemos opcionalmente usar o teste da condensação de Cauchy) para séries de termos positivos. Para aplicar o teste da integral, precisamos de uma função
contínua, positiva e decrescente em
tal que
.
Passo 2
Primeiro notamos que
, então a série só faz sentido a partir de
. Definimos
e consideramos a função
Para
, temos
e, derivando, vê-se facilmente que
, ou seja,
é decrescente a partir de
. Logo podemos aplicar o teste da integral.
Passo 3
Estudamos a integral imprópria
Fazendo a substituição
, temos
e
, portanto
Para
vale
, logo
e assim
Como a integral diverge, o teste da integral nos diz que a série
também diverge.
Passo 4
Opcionalmente, pelo teste da condensação de Cauchy, definimos
Como a sequência
cresce geometricamente (razão entre termos sucessivos tende a
), a série
diverge. Pelo teste de condensação,
diverge.
Resposta
A série
diverge.