Achar os valores máximo e mínimo de:
f(x)=\sqrt[3]{3 x^{3}-2 x^{2}},-1 \leq x \leq 2.

Passo 1

O enunciado pede os valores máximo e mínimo de
f(x)=\sqrt[3]{3x^{3}-2x^{2}}
no intervalo fechado [-1,2].
Conteúdo: cálculo de extremos de função em intervalo fechado. Vamos usar que toda função contínua em intervalo fechado atinge extremos em pontos onde a derivada é zero ou não existe (pontos críticos) e nos extremos do intervalo (endpoints).

Passo 2

Para achar os pontos críticos, escrevemos
g(x)=3x^{3}-2x^{2}, \quad f(x)=(g(x))^{1/3}.
Pela regra da cadeia,
f'(x) =\frac{1}{3}\bigl(g(x)\bigr)^{-2/3}\,g'(x) =\frac{g'(x)}{3\,(g(x))^{2/3}}.
Aqui
g'(x)=9x^{2}-4x=x\,(9x-4).
Logo f'(x)=0 se e só se g'(x)=0, ou seja em
x=0 \quad\text{e}\quad x=\frac{4}{9}.
Além disso a derivada não existe quando g(x)=0, ou seja em
g(x)=x^{2}(3x-2)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0 \quad\text{e}\quad x=\frac{2}{3}.
Os pontos críticos no intervalo [-1,2] são, portanto,
x=-1\\ (\text{endpoint}),\; x=0,\; x=\frac{4}{9},\; x=\frac{2}{3},\; x=2\\ (\text{endpoint}).

Passo 3

Calculamos f(x) em cada ponto:
  1. Em x=-1:
g(-1)=3(-1)^{3}-2(-1)^{2}=-3-2=-5, \quad f(-1)=\sqrt[3]{-5}=-\sqrt[3]{5}.
  1. Em x=0:
g(0)=0, \quad f(0)=\sqrt[3]{0}=0.
  1. Em x=\tfrac{4}{9}:
g\bigl(\tfrac{4}{9}\bigr) =3\Bigl(\tfrac{4}{9}\Bigr)^{3}-2\Bigl(\tfrac{4}{9}\Bigr)^{2} =-\frac{32}{243}, \quad f\bigl(\tfrac{4}{9}\bigr) =\sqrt[3]{-\tfrac{32}{243}} =-\Bigl(\tfrac{2}{3}\Bigr)^{5/3}.
  1. Em x=\tfrac{2}{3}:
g\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)=0, \quad f\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)=0.
  1. Em x=2:
g(2)=3\cdot8-2\cdot4=24-8=16, \quad f(2)=\sqrt[3]{16}.

Passo 4

Comparando os valores:
-\sqrt[3]{5}\approx-1,71, \quad -\Bigl(\tfrac{2}{3}\Bigr)^{5/3}\approx-0,51, \quad 0, \quad \sqrt[3]{16}\approx2,52.
O menor é -\sqrt[3]{5} e o maior é \sqrt[3]{16}.

Resposta

Valor mínimo: f(-1)=-\sqrt[3]{5}.
Valor máximo: f(2)=\sqrt[3]{16}.

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