Em quais pontos do gráfico de f(x)=\cos (x) a reta tangente tem coeficiente angular igual a 1 ? Resposta: (\ln (1+\sqrt{2}), f(\ln (1+\sqrt{2}))

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos do gráfico de f(x)=\cos(x) em que a reta tangente tenha coeficiente angular igual a 1. O conteúdo necessário é o conceito de derivada: lembramos que o coeficiente angular da reta tangente em x é dado por f'(x).

Passo 2

Calculamos a derivada de f. Como f(x)=\cos(x), vale
f'(x) = \frac{d}{dx}\bigl[\cos(x)\bigr] = -\sin(x).

Passo 3

Queremos os pontos em que o coeficiente angular da tangente é 1, isto é, resolver
f'(x) = 1
substituindo a expressão de f'(x):
-\sin(x) = 1.
Dessa igualdade segue que
\sin(x) = -1.

Passo 4

Agora achamos todas as soluções de \sin(x)=-1. Sabemos que \sin(x) atinge -1 exatamente quando
x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k,
onde k é qualquer inteiro.

Passo 5

Para cada uma dessas abscissas, a ordenada é
f\!\bigl(x\bigr)=\cos\!\bigl(x\bigr)
e, em x=\tfrac{3\pi}{2}+2\pi k, temos \cos\bigl(\tfrac{3\pi}{2}+2\pi k\bigr)=0.

Resposta

Os pontos do gráfico de f(x)=\cos(x) cuja reta tangente tem coeficiente angular igual a 1 são
\bigl(\tfrac{3\pi}{2} + 2\pi k,\;0\bigr),
com k\in\mathbb{Z}.

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