Achar os valores máximo e mínimo de:
f(x)=x+\frac{1}{x}, x \in\left[\frac{1}{5}, 4\right].

Passo 1

O enunciado pede os valores máximo e mínimo da função
f(x)=x+\frac{1}{x} definida no intervalo fechado \bigl[\tfrac{1}{5},4\bigr].
O conteúdo que vamos usar é: derivada para achar pontos críticos internos e, em seguida, avaliação da função nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo para determinar os extremos globais.

Passo 2

Calculamos a derivada de f:
f'(x)=1-\frac{1}{x^{2}}
Para encontrar pontos críticos, igualamos a zero:
1-\frac{1}{x^{2}}=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad x=1
Como o domínio é \bigl[\tfrac{1}{5},4\bigr] e x>0, o único ponto crítico interno é x=1.

Passo 3

Agora avaliamos f nos candidatos x=\tfrac{1}{5}, x=1 e x=4:
f\bigl(\tfrac{1}{5}\bigr) =\tfrac{1}{5}+5=\tfrac{26}{5}, \quad f(1)=1+1=2, \quad f(4)=4+\tfrac{1}{4}=\tfrac{17}{4}.

Passo 4

Comparando os valores obtidos:
2 < \tfrac{17}{4} < \tfrac{26}{5}.
Logo o menor valor de f no intervalo ocorre em x=1 e o maior em x=\tfrac{1}{5}.

Resposta

Mínimo global: f(1)=2
Máximo global: f\bigl(\tfrac{1}{5}\bigr)=\tfrac{26}{5}

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